6.4数列求和一、填空题1.在公比为整数的等比数列{}中,如果那么该数列的前8项和＝________.解析q=或q=2,而Z,∴.∴.答案5102．数列，，，…，，…的前n项和Sn＝________.解析 ＝，∴Sn＝1－＋－＋…＋－＝1＋－－＝－－.答案－－3．在等比数列{an}中，a1＝，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.解析 ＝q3＝－8，∴q＝－2.∴|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝＝2n－1－.答案－22n－1－4.数列{}的前n项和为若则＝________.解析 ∴….答案5．等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝________.解析当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，又 a1＝1适合上式．∴an＝2n－1，∴a＝4n－1.∴数列{a}是以a＝1为首项，以4为公比的等比数列．∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．答案(4n－1)6．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝________.解析设bn＝3n－2，则数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝5×3＝15.答案157．已知数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数n＝________.解析 an＝＝－，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1.令－1＝10，得n＝120.答案1208．数列{an}，{bn}都是等差数列，a1＝5，b1＝7，且a20＋b20＝60.则{an＋bn}的前20项的和为________．解析由题意知{an＋bn}也为等差数列，所以{an＋bn}的前20项和为：S20＝＝＝720.答案7209．已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列的前n项和Sn＝________.解析设等比数列{an}的公比为q，则＝q3＝27，解得q＝3.所以an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n，故bn＝log3an＝n，所以＝＝－.则数列的前n项和为1－＋－＋…＋－＝1－＝.答案10．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为________．解析设数列{an}的公比为q.由题意可知q≠1，且＝，解得q＝2，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，由求和公式可得S5＝.答案11．若数列{an}为等比数列，且a1＝1，q＝2，则Tn＝＋＋…＋的结果可化为________．解析an＝2n－1，设bn＝＝2n－1，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋3＋…＋2n－1＝＝.答案12.在等差数列{}中008,其前n项的和为.若则=________.解析 =d=2.∴2=-2008.答案-200813．等差数列{an}的公差不为零，a4＝7，a1，a2，a5成等比数列，数列{Tn}满足条件Tn＝a2＋a4＋a8＋…＋a2n，则Tn＝________.解析设{an}的公差为d≠0，由a1，a2，a5成等比数列，得a＝a1a5，即(7－2d)2＝(7－3d)(7＋d)所以d＝2或d＝0(舍去)．所以an＝7＋(n－4)×2＝2n－1.又a2n＝2·2n－1＝2n＋1－1，故Tn＝(22－1)＋(23－1)＋(24－1)＋…＋(2n＋1－1)＝(22＋23＋…＋2n＋1)－n＝2n＋2－n－4.答案2n＋2－n－4二、解答题14．已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.(1)求{an}的通项公式；(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和公式．解析(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a3＝－6，a6＝0，所以解得a1＝－10，d＝2.所以an＝－10＋(n－1)·2＝2n－12.(2)设等比数列{bn}的公比为q.因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，所以－8q＝－24，即q＝3.所以{bn}的前n项和公式为Sn＝＝4(1－3n)．15．设正项等比数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且210S30－(210＋1)S20＋S10＝0.(1)求{an}的通项；(2)求{nSn}的前n项和Tn.解析(1)由210S30－(210＋1)S20＋S10＝0得210(S30－S20)＝S20－S10，即210(a21＋a22＋…＋a30)＝a11＋a12＋…＋a20，可得210·q10(a11＋a12＋…＋a20)＝a11＋a12＋…＋a20.因为an>0，所以210q10＝1，解得q＝，因而an＝a1qn－1＝，n＝1,2，….(2)因为{an}是首项a1＝、公比q＝的等比数列，故Sn＝＝1－，nSn＝n－.则数列{nSn}的前n项和Tn＝(1＋2＋…＋n)－，＝(1＋2＋…＋n)－.两式相减，得＝(1＋2＋…＋n)－＋＝－＋，即Tn＝＋＋－2.16．已知首项不为零的数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的r，t∈N*，都有＝2.(1)判断{an}是否是等差数列，并证明你的结论；(2)若a1＝1，b1＝1，数列{...
