2.2函数的单调性与最值一、选择题1．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|x|)＜f(1)的实数x的取值范围是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1)D．(∞－，－1)∪(1∞，＋)解析： f(x)在R上为减函数且f(|x|)＜f(1)，∴|x|＞1，解得x＞1或x＜－1.答案：D2．函数y＝－x2＋2x－3(x＜0)的单调增区间是()A．(0∞，＋)B．(∞－，1]C．(∞－，0)D．(∞－，－1]解析：二次函数的对称轴为x＝1，又因为二次项系数为负数，拋物线开口向下，对称轴在定义域的右侧，所以其单调增区间为(∞－，0)．答案：C3．函数y＝2x2－(a－1)x＋3在(∞－，1]内单调递减，在(1∞，＋)内单调递增，则a的值是()A．1B．3C．5D．－1解析依题意可得对称轴x＝＝1，∴a＝5.答案C4．已知函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)是(∞∞－，＋)上的减函数，则a的取值范围是()．A.B.C.D.解析由f(x)是(∞∞－，＋)上的减函数，可得化简得0＜a≤.答案A5．若函数y＝ax与y＝－在(0∞，＋)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0∞，＋)上是()A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增解析： y＝ax与y＝－在(0∞，＋)上都是减函数，∴a<0，b<0，∴y＝ax2＋bx的对称轴方程x＝－<0，∴y＝ax2＋bx在(0∞，＋)上为减函数．答案：B6．设函数y＝f(x)在(∞∞－，＋)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝2－|x|，当K＝时，函数fK(x)的单调递增区间为()．A．(∞－，0)B．(0∞，＋)C．(∞－，－1)D．(1∞，＋)解析f(x)＝⇔f(x)＝f(x)的图象如上图所示，因此f(x)的单调递增区间为(∞－，－1)．答案C7．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a，在区间(∞－，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，∞＋)上一定()．A．有最小值B．有最大值C．是减函数D．是增函数解析由题意a＜1，又函数g(x)＝x＋－2a在[∞，＋)上为增函数，故选D.答案D二、填空题8．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是_______．解析：y＝－(x－3)|x|＝作出该函数的图像，观察图像知递增区间为.答案：9．已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(∞－，3)上是减函数，则a的取值范围是________．解析①当a＝0时，f(x)＝－12x＋5在(∞－，3)上为减函数；②当a＞0时，要使f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(∞－，3)上是减函数，则对称轴x＝必在x＝3≥的右边，即3，故0＜a≤；③当a＜0时，不可能在区间(∞－，3)上恒为减函数．综合知：a的取值范围是.答案10．若f(x)为R上的增函数，则满足f(2－m)
0.∴m>1或m<－2.答案：(∞－，－2)∪(1∞，＋)11.已知f(x)＝是(∞∞－，＋)上的减函数，那么a的取值范围是________．解析 当x≥1时，y＝logax单调递减，∴0＜a＜1；而当x＜1时，f(x)＝(3a－1)x＋4a单调递减，∴a＜；又函数在其定义域内单调递减，故当x＝1时，(3a－1)x＋4a≥logax，得a≤，≤综上可知，a＜.答案.≤a＜12．已知函数f(x)＝(a是常数且a＞0)．对于下列命题：①函数f(x)的最小值是－1；②函数f(x)在R上是单调函数；③若f(x)＞0在上恒成立，则a的取值范围是a＞1；④对任意的x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f＜.其中正确命题的序号是__________(写出所有正确命题的序号)．解析(数形结合法)根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f(x)在R上不是单调函数，故②错误；若f(x)＞0在上恒成立，则2a×－1＞0，a＞1，故③正确；由图象可知在(∞－，0)上对任意的x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f＜成立，故④正确．答案①③④【点评】采用数形结合法.注意本题中的③和④的理解，此题充分体现了数形结合法的直观性与便捷性.三、解答题13．求函数y＝a1－x2(a>0且a≠1)的单调区间．解析：当a>1时，函数y＝a1－x2在区间[0∞，＋)上是减函数，在区间(∞－，0]上是增函数；当00，x>0)．(1)求证：f(x)在(0∞，＋)上是增函数；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．解析(1)证明：方法一：设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0. f(x2)－f(x1)＝－＝－＝>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0∞，＋)上是增函数．方法二： f(x)＝－，...
