高三数学一轮 3.1 导数的概念及其运算课时检测 理 （含解析）北师大版VIP免费

3.1导数的概念及其运算一、选择题1.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(1)＝()A．－1B．－2C．1D．2解析：f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，得f′(1)＝2f′(1)＋2，∴f′(1)＝－2.答案：B2.设曲线11xyx在点（3，2）处的切线与直线10axy垂直，则a()A．2B．2C．12D.12答案B3．已知f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝()．A．e2B．eC.D．ln2解析f(x)的定义域为(0∞，＋)，f′(x)＝lnx＋1，由f′(x0)＝2，即lnx0＋1＝2，解得x0＝e.答案B4．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为()A．－B．0C.D．5解析因为f(x)是R上的可导偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)在x＝0处取得极值，即f′(0)＝0，又f(x)的周期为5，所以f′(5)＝0，即曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为0，选B.答案B5．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)…，，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2013(x)等于()．A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx解析 f0(x)＝sinx，f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx…，∴fn(x)＝fn＋4(x)，故f2012(x)＝f0(x)＝sinx，∴f2013(x)＝f′2012(x)＝cosx.答案C6．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝()．A．－eB．－1C．1D．e解析由f(x)＝2xf′(1)＋lnx，得f′(x)＝2f′(1)＋，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.答案B7．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝()．A．26B．29C．212D．215解析函数f(x)的展开式含x项的系数为a1·a2·…·a8＝(a1·a8)4＝84＝212，而f′(0)＝a1·a2·…·a8＝212，故选C.答案C二、填空题8．已知函数f(x)＝f′sinx＋cosx，则f＝________.解析由已知：f′(x)＝f′cosx－sinx.则f′＝－1，因此f(x)＝－sinx＋cosx，f＝0.答案09.函数)()(3Rxaxxxf在1x处有极值，则曲线)(xfy在原点处的切线方程是_____.解析因为函数)()(3Rxaxxxf在1x处有极值，则f′(1)＝3+a=0，a=-3.所求切线的斜率为-3，所以切线方程为y＝-3x.答案3x+y＝010．若过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．解析y′＝ex，设切点的坐标为(x0，y0)则＝ex0，即＝ex0，∴x0＝1.因此切点的坐标为(1，e)，切线的斜率为e.答案(1，e)e11．已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在x＝1处的导数f′(1)＝________.解析 f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，∴x＝1时，f(1)＝2f(1)－1＋8－8，∴f(1)＝1，即点(1,1)，在曲线y＝f(x)上．又 f′(x)＝－2f′(2－x)－2x＋8，x＝1时，f′(1)＝－2f′(1)－2＋8，∴f′(1)＝2.答案212．已知f1(x)＝sinx＋cosx，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)…，，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N*，n≥2)，则f1＋f2…＋＋f2012＝________.解析：f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，f3(x)＝(cosx－sinx)′＝－sinx－cosx，f4(x)＝－cosx＋sinx，f5(x)＝sinx＋cosx，以此类推，可得出fn(x)＝fn＋4(x)又 f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，∴f1＋f2…＋＋f＝f1＋f2＋f3＋f4＝0.答案：0三、解答题13．求下列函数的导数．(1)y＝x2sinx；(2)y＝；(3)y＝log2(2x2＋3x＋1)．解析：(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)法一：y′＝＝＝.法二： y＝＝1＋，∴y′＝1′′＋，即y′＝.(3)法一：设y＝log2u，u＝2x2＋3x＋1，则y′x＝y′u·u′x＝(4x＋3)＝.法二：y′＝[log2(2x2＋3x＋1)]′＝·(2x2＋3x＋1)′＝.14．求下列函数的导数：(1)y＝(2x＋1)n，(n∈N*)；(2)y＝ln(x＋)；(3)y＝2xsin(2x＋5)．解析(1)y′＝n(2x＋1)n－1·(2x＋1)′＝2n(2x＋1)n－1.(2)y′＝·＝.(3)y′＝2sin(2x＋5)＋4xcos(2x＋5)．15．设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.(1)求a、b的值，并写出切线l的方程；(2)若方程f(x)＋g(x)＝mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1