高中数学教学论文-构造三角形重心巧定两平面法向量的方向VIP免费

构造三角形重心巧定两平面法向量的方向利用平面的法向量可以方便的求出二面角平面角的大小，由于两法向量的夹角未必就是二面角的平面角的大小，许多杂志上都介绍了直接从图形上观察两法向量的方向，来确定两法向量的夹角是否为两平面的夹角。这种方法虽然简单，但由于空间任意两个向量都是共面的，要从图形上直接判定他们的方向，需要很强的空间想象能力，好多学生是达不到这种境界的。在最后的复习中，我利用下面的两个定理引导学生用向量法求二面角的大小时，而学生不知道如何找二面角内的点P，结果给解题带来麻烦。为了帮助学生更好更快的解题，我们在二面角内总可以找到一个三角形，将此三角形的重心作为二面角内的点P，可以不加思索的让学生很方便的正确求解，偶有所得，现结合近年的年高考题，写出来与大家同享。为了解决问题的方便，现给出如下的两个定理：定理1：向量m是平面的一个法向量，点O在平面内，点P在平面外。若0＞OPm，则向量m与向量OP指向平面的同侧（如图1）；若0＜OPm，则向量m与向量OP指向平面的异侧（如图2）。证明：当0＞OPm时， cosOPmOPm，∴cos＞0，∴20＜，∴向量m与向量OP指向平面的同侧。同理可证当0＜OPm时，cos＜0，∴＜2，∴向量m与向量OP指向平面的异侧。定理2：点P是二面角l内一点，点O是棱l上一点，向量nm,分别是平面,的一个法向量，二面角l大小为。若OPm与OPn同号，则nm,；若OPm与OPn异号，则nm,（如图3）证明：（一）若OPm与OPn异号1PmOPmO图1图2图3mnPO1）当0＞OPm且0＜OPn时，由定理1易知：向量m与向量OP指向平面的同侧；向量n与向量OP指向平面的异侧，而OP始终都是指向两平面外部的，所以向量m与向量n与两平面的指向互异，所以nm,2）同理可证当0＜OPm且0＞OPn时，nm,（二）若OPm与OPn同号1）当0＞OPm且0＞OPn时，由定理1易知：向量m与向量OP指向平面的同侧；向量n与向量OP也指向平面的同侧，而OP始终都是指向两平面外部的，所以向量m与向量n与两平面的指向一致，所以nm,；2）同理可证：当0＜OPm且0＜OPn时，nm,例1、（2008年全国高考数学北京卷文）如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小.解：（Ⅰ）略（Ⅱ）由题易知：△APC≌△BPC，∴CBPC，∴以C为坐标原点，CB，CA，CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系。∴)0,2,0(A，则)0,0,2(B，)0,0,0(C，)2,0,0(P，AP中点)1,1,0(M，)2,2,0(AP，)0,2,2(BA，)2,0,0(PC。设平面BAP的一个法向量为),,(1111zyxn，则由0011APnBAn，可得,0220221111zyyx即111zyx，故可取)1,1,1(1n.设平面APC的一个法向量为),,(2222zyxn，则由0022PCnAPn，可得,02022222zzy即022zy，故可取)0,0,1(2n，由于二面角的棱AP的中点)1,1,0(M，而BPC在二面角CAPB内，则BPC的重心Q)32,0,32(，2图4MABCPzxy∴)31,1,32(MQ，∴321nMQ，322nMQ， 1nMQ与2nMQ异号，∴二面角CAPB的大小与21,nn的大小相等，所以33,coscos212121nnnnnn，故二面角CAPB的大小为33arccos点评：利用三角形重心判定两平面法向量的方向，先在棱上找一点，为方便期间，一般找二面角棱的中点，再结合定理就可以求出二面角的大小。例2.（2008年全国高考数学全国卷理科18题），四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC底面BCDE，2BC，2CD，ABAC．（Ⅰ）证明：ADCE；（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45，求二面角CADE的大小．解：（Ⅰ）略。（Ⅱ）取CB的中点O, ABAC，∴AO⊥CB，又侧面ABC底面BCDE，∴AO⊥底面BCDE，∴以O为坐标原点，OC，Oy，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则)0,0,1(B，)0,0,1(C，)0,2,1(D，)0,2,1(E，设),0,0(aA，因此),2,1(aAD，)0,2,0(CD，)...