三黄金分割法——0.618法（一）一、基础达标1.有一优选问题，存优范围为[10，20]，在安排试点时，第一个试点为16，则第二个试点最好为()A.12B.13C.14D.15解析在优选过程中，安排试点时，最好使两个试点关于[10，20]的中点15对称，所以第二个试点最好为14.答案C2.在存优范围[10，100]安排两个实验点x1，x2，则x1，x2关于()对称.A.0.618B.65.62C.55D.61.8解析x＝＝＝55.答案C3.用0.618法确定试点，则经过4次试验后，存优范围缩小为原来的()A.0.6182B.0.6183C.0.6184D.0.6185解析由黄金分割法知：每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相等，故4次试验后，存优范围缩小为原来的0.6183.答案B4.假设因素区间为[0，1]，取两个试点0.1和0.2，则对峰值在(0，0.1)内的单峰函数，两次试验存优范围缩小到区间________上.解析如图所示：因为峰值在(0，0.1)内，故应舍去区间[0.2，1]，两次试验后存优范围缩小到区间[0，0.2]上.答案[0，0.2]5.人体的正常体温为36～37℃，在炎炎夏日将空调设为__________℃，人体感觉最佳.(精确到0.1℃)解析36×0.618到37×0.618，即22.2～22.8.答案22.2～22.86.一个身高为170cm的人，肚脐离地面的最佳高度为__________cm(精确到1cm).1解析由170×0.618＝105.06≈105.答案105二、能力提升7.已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是________g.解析根据0.618法可知，第一试点的加入量为110＋0.618×(210－110)＝171.8(g)或110＋210－171.8＝148.2(g)答案171.8或148.28.在炼钢过程中为了得到特定用途的钢，需要加入含有特定元素的材料.若每吨钢需要加入某元素的量在1000g到2000g之间，假设最佳点在1400g，如果用0.618法试验，求第三个试验点.解由0.618法知x1＝1000＋0.618(2000－1000)＝1618(g)，x2＝1000＋2000－x1＝1382(g).由于1382g接近1400g，所以此时的存优范围为(1000，1618)，∴x3＝1000＋1618－1382＝1236(g).9.如图，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，当FB⊥AB时，其离心率为，此类椭圆为“黄金椭圆”.(1)类似“黄金椭圆”，推算“黄金双曲线”的离心率.(2)设AB为黄金双曲线－＝1的弦，M为AB的中点，若AB，OM的斜率存在，求kOM·kAB.解(1)类似“黄金椭圆”，作出“黄金双曲线”，如图，则BF⊥AB.则BO＝b，FO＝c，OA＝a，在Rt△ABF中，b2＝ac.又∵b2＝c2－a2，∴c2－a2＝ac⇒－－1＝0.∴e＝＝.又e＞1，∴e＝.(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，2则由①－②得＝.∵M是AB的中点，且x1≠x2，∴x0＝，y0＝，从而＝·.故kOM·kAB＝·＝＝.三、探究与创新10.已知线段AB，怎样作出它的黄金分割点？解法一在AB的端点B作BD⊥AB，使BD＝AB，连接AD，在AD上截取DE＝DB，再在AB上截取AC＝AE，则点C为所求作的黄金分割点，如图1.事实上，由作法可知AD＝AB，则AC＝AE＝AD－DB＝AD－AB＝AB，即证.图1法二在AB上作正方形ABMN，在AN上取中点E，在NA的延长线上取EF＝EB.以AF为一边作正方形ACDF，则点C为所求作的黄金分割点，如图2.事实上，由AC＝AF＝EF－AE＝EB－AE＝－AB＝AB，即证.图23
