九年级数学平面几何过三点的圆和垂径定理人教四年制【同步教育信息】一.本周教学内容：平面几何过三点的圆和垂径定理二.学习要求：（过三点的圆）1.定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆：它的意思是如果有三个点，它们三点不共线，那么经过这三个点可以作一个圆并且只可以做一个圆。2.三角形的外接圆，外心以及圆的内接三角形：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，如图：A、B、C在⊙O上。⊙O为的外接圆。O为的外心。为⊙O的内接三角形。3.求作一个三角形的外心方法：作任二条边的垂直平分线，两条中垂线的交点即为外心。 P为AB、BC中垂线交点∴PA=PB=PC∴以P为圆心PA为半径圆一定经过A、B、C。4.三角形的外心在这个三角形位置：分三种情况（1）锐角三角形的外心在三角形内部。直角三角形外心在斜边的中点上，钝角三角形外心在三角形外部；可以画图得知：垂直于弦的直径（1）（一）学习要求：本节的重点是垂径定理及其推论并会利用定理证明，计算和作图；我们分两次讲解。（二）学习要点：1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。2.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦且平分这条弦所对的两条弧。如图：CD是直径，AB是弦，于E，则有：AE=EB，，。理由是：因为圆是轴对称图形，CD是直径是圆的对称轴，若延CD将圆对折，则CD两旁部分一定完全重合，即AE=EB，，。这个定理是本节的重点和难点：我们理解为，垂直于弦的半径平分弦，圆心和弦中点连线必垂直于弦。【典型例题】[例1]如图，已知直径AB和CD相交于点E，，求：ED长。解： AE=1，BE=5∴AB=6∴AO=OB=3则作 ∴EH=1，连OD，则∴[例2]两个圆的圆心为O，大圆的半径为OC，OD分别与小圆交于A、B两点。求证：。证：依题意：OC=OD，OA=OB∴且夹角∴∽∴∴[例3]中，直角边a、b分别是方程的两个根，求外接圆面积。解： a、b是两个根∴∴，而外接圆半径=∴[例4]已知四边形ABCD中，，求证ABCD有外接圆。证：连AC，取AC中点O在和中，连OB、OD则∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上[例5]如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，延长DC与BA的延长线交于P，且PC=OB，，求的度数。解：连OC PC=OB=OC∴∠1=∠P又 DC=OC（半径相等）∴∠2=∠D∴，则又 ∴[例6]已知中，AB=AC=10，BC=12，求：其外接圆的半径。解：作于D，在中又AB=AC∴AD是BC的垂直平分线那么外心O一定在AD上，设外心为O，连OC OA=OC（半径）设∴在中，，即解得小结：在同一圆中，由半径相等构成等腰三角形很重要。[例7]已知如图：AB是⊙O直径，CD是⊙O的弦，，E、F为垂足，求证：CE=DF。解：作于P 且又 OA=OB∴EP=PF（一组平行线截相等的线段定理）∴CE=DF[例8]如图已知：⊙O的弦AB、CD的延长线交于点P，PA=PC，，垂足分别为M、N，求证：OM=ON。证：连OP、OA、OC OA=OC，PA=PC，OP=OP∴≌又∴OM=ON[例9]已知⊙O的半径为10cm，P是直径AB上一点，弦CD过P，CD=16cm，过点A和B分别向CD引垂线AE和BF，求：值。作于M，则M为CD中点 CD=16∴MD=8 OD=10∴设 OM//AE则同理∴【模拟试题】一.练习：1.经过一个点A可以做个圆，经过A、B两点可以做个圆，经过不在一条直线三个点可以做个圆。2.在中，两直角边长分别为3和4，那么外接圆的面积是。3.锐角中，逐渐增大时，其外心向边移动，当时外心位置是。4.外心是它的两条中线交点，则形状为。5.若一个圆经过梯形ABCD的四个顶点，则这个梯形是。6.三角形ABC的边长，则外接圆半径是。7.等边三角形的边长为2，其外接圆的半径是。8.对于三角形的外心，下列说法错误的是（）A.它到三角形的三个顶点的距离都相等B.它与三个顶点的连线平分三个内角C.它到任一顶点的距离等于这个三角形外接圆的半径D.以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点。9.在一个圆中，任意引两条直径，顺次连结它们的四个端点，组成一个四边形，则这个四边形一定是（）A.菱形B.等腰梯形C.矩形D.正方形10.如图，已知一条直线和直线外两定点A、B，且A、B在两旁，则经过A、B两点且圆心在上的圆有（）A.0个B.1个C.无数D.0个或无数...
