宁化城东中学2014-2015学年九年级数学培优1.如图,已知抛物线y=ax2+bx经过点A(2，0)、B(3,3)，顶点为C.直线BC与y轴交于点D,点P是x轴负半轴上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q。(1)求抛物线的函数表达式；(2)试探究m为何值时,四边形ODPQ是平行四边形；(3)是否存在点Q,使得以P、Q、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在,求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由。2.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝－3，该抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，4），以AB为直径的⊙M恰好经过点C．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）设⊙M与y轴的另一个交点为D，请在抛物线的对称轴上求作一点E，使得△BDE的周长最小，并求出点E的坐标；（3）过点C作⊙M的切线CF交x轴于点F，试判断直线CF是否经过抛物线的顶点P？并说明理由．_y_x_O_M_C_B_ADP3.如图，已知△ABC中，AB=AC=a，BC=10，动点P沿CA方向从点C向点A运动，同时，动点Q沿CB方向从点C向点B运动，速度都为每秒1个单位长度，P、Q中任意一点到达终点时，另一点也随之停止运动．过点P作PD∥BC，交AB边于点D，连结DQ．设P、Q的运动时间为t．（1）直接写出BD的长；（用含t的代数式表示）（2）若15a，求当t为何值时，△ADP与△BDQ相似；（3）是否存在某个a的值，使P、Q在运动过程中，存在::1:4:4BDQADPCPDQSSS梯形的时刻，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．4.如图1，直线y=﹣3x+6与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣4）2+k经过点A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为D．（1）则a=，k=；（直接填空）（2）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△ABP是以AB为斜边的直角三角形，若存在，求P点的坐标；若不存在，说明理由.（3）如图2，连接AD、DC、CB，经过点A存在一条直线将四边形ABCD的面积分为3：5的两个部分，试求这条直线的函数关系式.ABCDOxy图1ABCDOxy图25．小明在学习平行线相关知识时总结了如下结论：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短.小明应用这个结论进行了下列探索活动和问题解决.问题1：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，P为AC边上的一动点，以PB，PA为边构造□APBQ，求对角线PQ的最小值及PQ最小时APAC的值.（1）在解决这个问题时，小明构造出了如图2的辅助线，则PQ的最小值为▲，当PQ最小时ACAP=_____▲__；（2）小明对问题1做了简单的变式思考.如图3，P为AB边上的一动点，延长PA到点E，使AE=nPA（n为大于0的常数）.以PE，PC为边作□PCQE，试求对角线PQ长的最小值并求PQ最小时ABAP的值；问题2：在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3．（1）如图4，若P为AB上任意一点，以PD，PC为边作□PCQD．试求对角线PQ长的最小值和PQ最小时ABAP的值．QBACPBACP图2图1图4CDAPQBQEACPB图3（2）若P为AB上任意一点，延长PD到E，使nPDDE，再以PE，PC为边作□PCQE．请直接写出对角线PQ长的最小值和PQ最小时ABAP的值．
