第11讲圆锥曲线中最值、范围问题1．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是______．解析：因为点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，即在椭圆＋＝1上，所以点(m，n)满足椭圆的范围|x|≤，|y|≤2，因此|m|≤，即－≤m≤，所以2m＋4∈[4－2，4＋2]．答案：[4－2，4＋2]2．(2019·常州期末)在平面直角坐标系xOy中，设直线l：x＋y＋1＝0与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率e的取值范围是________．解析：双曲线的渐近线分别为y＝x，y＝－x，依题意有－>－1，即b
1，所以e的取值范围是(1，)．答案：(1，)3．(2019·海安中学月考)已知AB＝2，M是线段AB的中点，点P在平面内运动且PA＋PB＝6，则PM的最大值为________．解析：由题意，知点P的轨迹是以点A，B为焦点的椭圆，其长轴长为6，焦距为2，所以短轴长为4，易知PM的最大值为3.答案：34．直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是________．解析：设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2,0)，r＝，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为＝2，可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.由已知条件可得AB＝2，所以△ABP面积的最大值为×AB×dmax＝6，△ABP面积的最小值为×AB×dmin＝2.综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．答案：[2,6]5．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形，设P为该椭圆上的动点，C，D的坐标分别是(－，0)，(，0)，则PC·PD的最大值为________．解析：由面积为4的正方形可知所以椭圆方程为＋＝1，所以C，D为椭圆的焦点．设P(x0，y0)，则PC·PD＝x＋y－2，又x＝4，所以PC·PD＝－y＋2≤2.答案：26．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)恒过定点A(1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值是________.解析：由已知得＋＝1，因为准线方程为x＝，所以椭圆的中心到准线的距离为d＝，即d2＝＝＝＝＝＝a2－5＋＋9≥2＋9＝4＋9＝(＋2)2，当且仅当a2＝5＋2时取等号．所以d≥＋2，即dmin＝＋2.答案：＋27．(2019·镇江中学检测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆C上异于A，B的点，直线TA，TB的斜率之积为－.(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过点M(8,0)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求△OPQ面积的最大值．解：(1)设T(x，y)(x≠±4)，则直线TA的斜率为k1＝，直线TB的斜率为k2＝.于是由k1k2＝－，得·＝－，整理得＋＝1(x≠±4)，故椭圆C的方程为＋＝1.(2)由题意设直线PQ的方程为x＝my＋8，由得(3m2＋4)y2＋48my＋144＝0，Δ＝(48m)2－4×144×(3m2＋4)＝12×48(m2－4)>0，即m2>4，yP＋yQ＝－，yPyQ＝.所以PQ＝·＝，又点O到直线PQ的距离d＝.所以S△OPQ＝×PQ×d＝＝≤4当且仅当m2＝时等号成立，且满足m2>4.故△OPQ面积的最大值为4.8．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，两条准线之间的距离为8.(1)求椭圆C的标准方程．(2)若A，B分别为椭圆C的左、右顶点，在平面直角坐标系xOy中，过点B作x轴的垂线l，点P是直线l上(异于点B)任意一点，直线AP交椭圆C于点Q.①若OP与BQ交于点M，且BM＝2MQ，求直线AP的方程；②求OP·BQ的取值范围．解：(1)由题意知e＝＝，＝8，解得c＝1，a＝2，∴b＝，故椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)①由(1)知A(－2,0)，B(2,0)，设Q(x0，y0)，y0≠0，P(2，t)， A，Q，P三点共线，∴kAQ＝kAP，∴＝，得t＝，∴P.设点M(x1，y1)， BM＝2MQ，∴(x1－2，y1)＝2(x0－x1，y0－y1)，即得点M. O，M，P三点共线，∴＝＝，解得y0＝0(舍去)或x0＝0，又点Q在椭圆C上，∴Q(0，±)，故直线AP的方程为y＝±(x＋2)．②由①易知OP·BQ＝·(x0－2，y0)＝2(x0－2)＋. 点Q在椭圆C上，∴＋＝1，得4y＝3(4－x)，将4y＝3(4－x)代入上式得，OP·BQ＝2(x0－2)＋＝2－x0， －2＜x0＜2，∴0＜2－x0＜4，∴OP·BQ的取值范围为(0,4)．9．已知椭圆E：＋＝1(a＞0，b＞0)的长轴长为4，离心率为.(1)求椭圆E的标准方程．(2)设斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆E相交于C，D两点．①若点P(1...
