第11讲圆锥曲线中最值、范围问题1．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是______．解析：因为点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，即在椭圆＋＝1上，所以点(m，n)满足椭圆的范围|x|≤，|y|≤2，因此|m|≤，即－≤m≤，所以2m＋4∈[4－2，4＋2]．答案：[4－2，4＋2]2．(2019·常州期末)在平面直角坐标系xOy中，设直线l：x＋y＋1＝0与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率e的取值范围是________．解析：双曲线的渐近线分别为y＝x，y＝－x，依题意有－>－1，即bb>0)恒过定点A(1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值是________
解析：由已知得＋＝1，因为准线方程为x＝，所以椭圆的中心到准线的距离为d＝，即d2＝＝＝＝＝＝a2－5＋＋9≥2＋9＝4＋9＝(＋2)2，当且仅当a2＝5＋2时取等号．所以d≥＋2，即dmin＝＋2
答案：＋27．(2019·镇江中学检测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆C上异于A，B的点，直线TA，TB的斜率之积为－
(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过点M(8,0)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求△OPQ面积的最大值．解：(1)设T(x，y)(x≠±4)，则直线TA的斜率为k1＝，直线TB的斜率为k2＝
于是由k1k2＝－，得·＝－，整理得＋＝1(x≠±4)，故椭圆C的方程为＋＝1
(2)由题意设直线PQ的方程为x＝my＋8，由得(3m2＋4)y2＋48my＋144＝0，Δ＝(48m)2－4×144×(3m2＋4)＝12×48(m2－4)>0，即m2>4，yP＋yQ＝－，yPyQ＝
所以PQ＝·＝，又点O到直线PQ的距离d＝
所以S△OPQ＝×PQ×d
