第17课曲线的切线(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(选修2-2P26习题5改编)曲线y=12x-cosx在x=π6处的切线方程为.【答案】x-y-π12-32=0【解析】设f(x)=12x-cosx，则f'π6=12+sinπ6=1，故切线方程为y-π3-122=x-π6，化简可得x-y-π12-32=0.2.(选修2-2P22例3改编)已知曲线f(x)=xsinx+1在点π12，处的切线与直线ax-y+1=0互相垂直，那么实数a=.【答案】-1【解析】f'(x)=sinx+xcosx，当x=π2时，f'(x)=1，所以a=-1.3.(选修2-2P20练习7改编)若直线y=12x+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线，则实数b=.【答案】ln2-1【解析】设切点为(x0，lnx0)，则切线斜率k=01x=12，所以x0=2.又因为切点(2，ln2)在切线y=12x+b上，所以b=ln2-1.14.(选修2-2P16习题3改编)设函数f(x)=g(x)+x2，曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为.【答案】4【解析】因为曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y=2x+1，所以g'(1)=2.又f'(x)=g'(x)+2x，所以f'(1)=g'(1)+2=4，故切线的斜率为4.1.导数的几何意义导数f'(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k=f'(x0)，相应地，切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).2.解与曲线的切线有关的问题的一般步骤：第一步：设出切点坐标(x0，y0)；第二步：计算切线的斜率为k=f'(x0)；第三步：写出切线方程y-y0=f'(x0)(x-x0)；第四步：将问题转化为函数与方程问题求解.【要点导学】要点导学各个击破过曲线上点的切线方程例1已知曲线S：y=-23x3+x2+4x及点P(0，0)，求过点P的曲线S的切线方程.【思维引导】本题考查导数的几何意义和导数的运算，这类题比较常见.本题要注意点与曲线的位置关系.【解答】设过点P的切线与曲线S切于点Q(x0，y0)，则过点Q的曲线S的切线斜率为k=y'0|xx=-220x+2x0+4，2又当x0≠0时，kPQ=00yx，所以-220x+2x0+4=00yx.①因为点Q在曲线S上，所以y0=-3023x+20x+4x0.②将②代入①得-220x+2x0+4=3200002-43xxxx，化简，得3043x-20x=0，所以x0=34.则k=358，过点P的切线方程为y=358x.当x0=0时，则k=4，过点P的切线方程为y=4x.所以过点P的曲线S的切线方程为y=4x或y=358x.【精要点评】曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义.在此题中，点P凑巧在曲线S上，求过点P的切线方程，却并非说切点就是点P.变式已知曲线f(x)=13x3+43.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程.【思维引导】曲线y=f(x)“过点P”与“在点P处”的切线是不相同的，在点P处的切线是以P为切点；过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点的坐标.【解答】(1)因为f'(x)=x2，所以在点P(2，4)处的切线的斜率k=f'(2)=4，所以曲线在点P(2，4)处的切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0.(2)设曲线f(x)=13x3+43与过点P(2，4)的切线相切于点A3001433xx，，则切线的斜率k=f'(x0)=20x，3所以切线方程为y-3013x-43=20x(x-x0)，即y=20xx-3023x+43.因为点P(2，4)在切线上，所以4=220x-3023x+43，即30x-320x+4=0，所以(x0+1)(x0-2)2=0，解得x0=2或-1，故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.【精要点评】解决此类问题，一定要分清楚是“在某点”还是“过某点”处的切线.在某点处的切线比较好求，过某点处的切线，一般要设出切线坐标，然后通过解方程的方法解出该切点坐标，最后利用点斜式求出直线方程.过某点的曲线的切线方程例2已知函数f(x)=xlnx，过点A21-0e，作函数y=f(x)图象的切线，则切线的方程为.【思维引导】点A不在曲线y=f(x)上，故先设切点，利用切线过点A，建立方程确定切点坐标，最后利用点斜式求出直线方程.【答案】x+y+21e=0【解析】设切点为T(x0，y0)，则kAT=f'(x0)，所以0002ln1exxx=lnx0+1，即e2x0+lnx0+1=0.设h(x)=e2x+lnx+1，则h'(x)=e2+1x，当x>0时，h'(x)>0，所以h(x)在(0，+∞)上是单调增函数，所以h(x)=0最多只有一个根.又h21e=e2×21e+ln21e+1=0，所以x0=21e.由f'(x0)=-1得切线方程是x+y+21e=0.4【精要点评】对于曲线的切线问题，一定要注意题目所给的条件；...
