热点探究训练(三)数列中的高考热点问题1．已知数列{an}是等比数列，a2＝4，a3＋2是a2和a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2log2an－1，求数列{anbn}的前n项和Tn.[解](1)设数列{an}的公比为q，因为a2＝4，所以a3＝4q，a4＝4q2.2分因为a3＋2是a2和a4的等差中项，所以2(a3＋2)＝a2＋a4.即2(4q＋2)＝4＋4q2，化简得q2－2q＝0.因为公比q≠0，所以q＝2.所以an＝a2qn－2＝4×2n－2＝2n(n∈N*).6分(2)因为an＝2n，所以bn＝2log2an－1＝2n－1，所以anbn＝(2n－1)2n，7分则Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n，①2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)2n＋1.②由①－②得，－Tn＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n－1)2n＋1＝2＋2×－(2n－1)2n＋1＝－6－(2n－3)2n＋1，所以Tn＝6＋(2n－3)2n＋1.14分2．已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，试求数列{bn}的前n项和Tn.[解](1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.由f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2，所以f(x)＝3x2－2x.2分又因为点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上，所以Sn＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5；当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＝6×1－5，所以an＝6n－5(n∈N*).6分(2)由(1)得bn＝＝＝，10分故Tn＝＝＝.14分3．(2017·宁波镇海中学模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝6.正项数列{bn}满足b1·b2·b3·…·bn＝2Sn.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若λbn>an，对n∈N*均成立，求实数λ的取值范围．[解](1)∵等差数列{an}中，a1＝1，S3＝6，∴d＝1，故an＝n.2分由1①÷②得bn＝2Sn－Sn－1＝2an＝2n(n≥2)，b1＝2S1＝21＝2，满足通项公式，故bn＝2n.6分(2)λbn>an恒成立，即λ>恒成立，8分设cn＝，则＝，当n≥1时，cn＋1≤cn，{cn}单调递减，∴(cn)max＝c1＝，故λ>，∴λ的取值范围是.14分4．已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.(1)若2a2，a3，a2＋2成等差数列，求数列{an}的通项公式；(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝，证明：e1＋e2＋…＋en>.【导学号：51062179】[解](1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得到an＋2＝qan＋1，n≥1.又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，故an＋1＝qan对所有n≥1都成立，所以数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列.3分从而an＝qn－1.由2a2，a3，a2＋2成等差数列，可得2a3＝3a2＋2，即2q2＝3q＋2，则(2q＋1)(q－2)＝0.由已知，q>0，故q＝2.所以an＝2n－1(n∈N*).6分(2)证明：由(1)可知，an＝qn－1，所以双曲线x2－＝1的离心率en＝＝.9分由e2＝＝，解得q＝.因为1＋q2(k－1)>q2(k－1)，所以>qk－1(k∈N*).12分于是e1＋e2＋…＋en>1＋q＋…＋qn－1＝，故e1＋e2＋…＋en>.14分2
