3.1.3导数的概念和几何意义1．质点的运动规律为s＝2t2＋1，其中s表示路程，t表示时间，则在某时间段[1,1＋d]中，质点运动的路程s对时间t的平均变化率为()．A．4B．dC．4＋dD．4＋2d2．函数y＝f(x)＝＋1在x＝1处的导数是()．A．B．1C．D．43．函数y＝f(x)＝x2的导函数是()．A．xB．2xC．x2D．2x24．曲线f(x)＝x3＋2x＋1在点P(1,4)处的切线方程是()．A．5x－y＋1＝0B．x－5y－1＝0C．5x－y－1＝0D．x－5y＋1＝05．函数f(x)＝x3＋4x＋1，则f′(x)＝()．A．3x2＋4B．4x2＋3C．x3＋4xD．x2＋46．对于函数y＝x2，在x＝__________处的导数值等于其函数值．7．曲线y＝f(x)＝2x－x3在点(1,1)处的切线方程为__________．8．曲线y＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x＝a所围成的三角形的面积为，则a＝__________.9．直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，求a的值及切点的坐标．10．已知直线l1为曲线y＝f(x)＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．1参考答案1．D平均变化率为＝＝4＋2d.2．A＝＝＝，当d趋于0时，趋于.∴f′(1)＝.3．B＝＝2x＋d，当d趋于0时，2x＋d趋于2x，∴f′(x)＝2x.4．C因为P(1,4)在曲线上，所以在曲线上取另一点Q(1＋d，f(1＋d))，计算PQ的斜率为k(1，d)＝＝＝＝d2＋3d＋5.当d趋于0时，d2＋3d＋5趋于5，所以所求切线的斜率为5，∴切线方程为y－4＝5(x－1)，即5x－y－1＝0.5．A＝＝3x2＋4＋3xd＋d2.当d趋于0时，3x2＋4＋3xd＋d2趋于3x2＋4，∴f′(x)＝3x2＋4.6．0或2设x＝x0，则＝＝d＋2x0.当d趋于0时，d＋2x0趋于2x0.由题意得：2x0＝x02.∴x0＝0或x0＝2.7．x＋y－2＝0＝＝－1－3d－d2.当d趋于0时，－1－3d－d2趋于－1，∴f′(1)＝－1，即所求切线的斜率为－1.∴所求切线的方程为y－1＝－1×(x－1)，即x＋y－2＝0.8．±1＝＝3a2＋3ad＋d2，当d趋于0时，3a2＋3ad＋d2趋于3a2.∴曲线在点(a，a3)处的切线的斜率为3a2.∴曲线在点(a，a3)处的切线方程为y－a3＝3a2(x－a)．∴切线与x轴的交点为(a,0)．∴|a－a|·|a3|＝，解得a＝±1.9．解：设直线l和曲线C相切于点P(x0，y0)．令f(x)＝x3－x2＋1，则＝＝d2＋3x0d＋3x02－2x0－d.当d趋于0时，有f′(x0)＝3x02－2x0.由题意知3x02－2x0＝1，解得x0＝－或1.2于是切点坐标为(－，)或(1,1)．当切点为(－，)时，＝－＋a，∴a＝.当切点为(1,1)时，1＝1＋a，∴a＝0(舍去)．∴a的值为，切点坐标为(－，)．10．解：(1)由导数的概念，得k1＝f′(1)＝3，∴直线l1的方程为y＝3x－3.设直线l2与曲线y＝x2＋x－2的切点为B(b，b2＋b－2)，则k2＝f′(b)＝2b＋1，∵l1⊥l2，∴(2b＋1)×3＝－1，解得b＝－.∴直线l2的方程为y＝－x－.(2)解方程组得∴直线l1与l2的交点坐标为(，－)．又∵l1，l2与x轴的交点坐标分别为(1,0)，(－，0)，∴所求三角形的面积S＝××|－|＝.3
