高二数学上学期简单的线性规划平面区域问题例题解析在直角坐标平面内，直线l可以用二元一次方程Ax+By+C=0来表示，点P(x0,y0)在直线l上的充要条件是Ax0+By0+C=0；若点P不在直线l上，则Ax0+By0+C＞0或Ax0+By0+C＜0，二者必居其一.直线l：Ax+By+C=0将平面划分为两个半平面Ax+By+C＞0和Ax+By+C＜0，位于同一个半平面内的点，其坐标必适合同一个不等式.要确定一个二元一次不等式所表示的半平面，可用“特殊点”法，如取原点或坐标轴上的点来检验.另外，还可证明如下结论：（1）若A＞0，则Ax+By+C＞0表示直线l:Ax+By+C=0右侧的半平面，Ax+By+C＜0表示直线l左侧的半平面.（2）若B＞0，则Ax+By+C＞0表示直线l:Ax+By+C=0上方的半平面，Ax+By+C＜0表示直线l下方的半平面.［例1］在直角坐标平面上有两个区域M和N.M是由y≥0，y≤x和y≥z-x这三个不等式确定的.N是随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t+1的确定，t的取值范围是0≤t≤1.设M和N的公共面积是函数f(t)，求证：f(t)=-t2+t+.导析：这是一个基本问题，关键是确定M和N的公共部分的形状.可先让学生自行画出M、N这两个区域，然后再作判断.如图所示，依题意，区域M是图中△AOB,区域N是直线x=t与x=t+1(0≤t≤1)之间的带形域.M和N的公共部分为图中的阴影部分五边形ACDEF（包括边界）.关于五边形ACDEF面积的计算，可引导学生从下面三个途径去考虑：（1）△AOB的面积减去Rt△ODC、Rt△BEF的面积；（2）过A作x轴的垂线，将其划分为两个直角梯形来计算；（3）连结CF，将其划分为一个直角三角形CAF和一个直角梯形CDEF去求解.［例2］已知实数x、y满足2x+y≥1，求u=x2+y2+4x-2y的最小值.导析：注意到所求式的结构特点，学生容易想到将其作如下的配方变形.u=(x+2)2+(y-1)2-5显然，(x+2)2+(y-1)2表示点P（x,y)与定点A（-2,1)的距离的平方.由约束条件2x+y≥1知，点P（x，y）在直线l：2x+y=1的右上方区域G.于是，问题转化为求定点A（-2，1）到区域G的最近距离.由图知，点A到直线l的距离为A到区域G中点的距离的最小值.d=∴d2=.用心爱心专心故umin=d2-5=-.说明：这是一个条件最值问题，由于所求式呈现出两点间距离的特点，所以我们应用了等价转化的思想，应用解析法使问题得到巧妙地解决.［例3］设实数x、y满足不等式组（1）求点(x,y)所在的平面区域；（2）设a＞-1，在（1）所求的区域内，求函数f(x,y)=y-ax的最值.导析：必须使学生明确，求点(x,y)所在的平面区域，关键是确定区域的边界线，可从去掉绝对值符号入手.（1）已知的不等式组等价于解得点（x,y)所在的平面区域为所示的阴影部分（含边界）.其中，AB:y=2x-5;BC:x+y=4;CD:y=-2x+1;DA:x+y=1.（2）f(x,y)表示直线l：y-ax=k在y轴上的截距，且直线l与（1）中所求区域有公共点.∵a＞-1,∴当直线l过顶点C时，f(x,y)最大.∵C点的坐标为（-3，7），∴f(x,y)的最大值为7+3a.如果-1＜a≤2，那么当直线l过顶点A（2，-1）时，f(x,y)最小，最小值为-1-2a.如果a＞2，那么当直线l过顶点B（3，1）时，f(x,y)最小，最小值为1-3a.说明：由于直线l的斜率为参数a，所以在求截距k的最值时，要注意对参数a进行讨论，方法是将直线l动起来.用心爱心专心
