1.5.2二项式系数的性质及应用（一）五分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.如果(3x-)n的展开式中各项系数之和为128,则展开式中的系数是()A.7B.-7C.21D.-21答案:C解析：令x=1,得2n=128,∴n=7.从而Tr+1=37-r(-1)rx.令7-r=-3,得r=6,∴的系数为(-1)6·37-6=21.2.1112除以100的余数是()A.1B.10C.11D.21答案:D解析：1112=(10+1)12=1012+1011+…+102+10+1=100K+121(其中K=1010+109+…+),从而余数为21.3.设(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,则a0+a2+a4+…+a2n等于()A.(3n+1)B.(3n-1)C.3n-1D.3n+1答案:A解析：令x=1,得a0+a1+a2+…+a2n=3n.令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a2n=1.故a0+a2+a4+…+a2n=(3n+1).4.(|x|++2)6的展开式中系数最大的项的系数是_______________.答案:924解析：(|x|++2)6=(+)12,∴系数最大的项的系数是=924.十分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.已知(x-)8展开式中常数项为1120,其中实数a是常数,则展开式中各项系数的和是()A.28B.38C.1或38D.1或28答案:C解析：Tr+1=x8-r(-)r=(-a)rx8-2r,当r=4时,(-a)4=1120.从而a=±2.当a=2时,(x-)8展开式中各项系数和为1;当a=-2时,(x+)8展开式中各项系数和为38.2.若(2x+)3=a0+a1x+a2x2+a3x3,则(a0+a2)2-(a1+a3)2的值为()A.-1B.1C.0D.2答案:A1解析：取x=1,则(2+)3=a0+a1+a2+a3,取x=-1，则（-2)3=a0-a1+a2-a3,(a0+a2)2-(a1+a3)2=(a0+a2+a1+a3)(a0+a2-a1-a3)=［(2+)·(-2)］3=-1.3.(x-y)7展开式中,系数绝对值最大的项是()A.第四项B.第四,五两项C.第五项D.第三,四两项答案:B解析：Tr+1=·xr·(-y)7-r,由二项式系数增减性知r=和r=时最大,即第4项和第5项.4.除以9的余数是()A.-2B.-1C.0D.7答案:D解析：因为=233-1=811-1=(9-1)11-1=911-910+·99-…+·9--1=9M-2=9(M-1)+7,M∈N*.5.设(1-3x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则|a0|+|a1|+…+|a8|=______________-.答案:48解析：易知a0,a2,…,a8大于0,而a1，a3,…,a7小于0，故|a0|+|a1|+…+|a8|=a0-a1+a2-a3+…-a7+a8.令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…-a7+a8=(1+3)8=48.6.已知(+)n展开式中奇数项二项式的系数和比(a+b)2n展开式中奇数项二项式的系数和少120,求第一个展开式中的第三项.解：在(a+b)n=an+an-1b+…+bn中,令a=b=1,得++…+=2n;又令a=1,b=-1,得-++…+(-1)n=0;两式相加得奇数项二项式系数和为2n-1.由题设知2n-1=22n-1-120,所以(2n)2-2n-240=0,解之得2n=16或2n=-15(舍去),所以n=4,故所求第一个展开式中的第三项为T3=()·（）2=6.30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.在(x-)2006的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S,当x=时,S等于（）A.23008B.-23008C.23009D.-23009答案:B解析：Tr+1=x2006-r(-2)r,显然当2006-r为奇数时,r为奇数,所以当x=时,Tr+1=-()2006=-C21003.2所以S=-21003(+…+)=-21003××22006=-23008.2.在(1-x3)(1+x)10的展开式中，x5的系数是()A.-297B.-252C.297D.207答案:D解析：（1-x3)(1+x)10=(1+x)10-x3(1+x)10,∴x5的系数为-=207，选D.3.设(+x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则(a0+a2+a4+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2的值是()A.1B.-1C.0D.(-1)10答案:A解析：令x=1或-1,则a0+a1+a2+…+a10=(+1)10,a0-a1+a2-a3+…+a10=(-1)10,∴(a0+a2+a4+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2=(a0+a1+a2+…+a10)(a0-a1+a2-a3+…+a10)=(+1)10·(-1)10=1.答案:B4.9192被100除所得的余数为()A.1B.81C.-81D.992解析：利用9192=(100-9)92展开式,或利用(90+1)92展开式.方法一:(100-9)92=·10092-·10091·9+·10090·92-…-·100·991+·992.展开式中前92项均能被100整除,只需求最后一项除以100的余数.由992=(10-1)92=1092-1091+…+102-10+1,前91项均能被100整除,后两项和为-919,因原式为正,可从前面的数中分离出1000,结果为1000-919=81,∴9192被100除可得余数为81.方法二:(90+1)92=·9092+·9091+…+·902+·90+.前91项均能被100整除,剩下两项和为92×90+1=8281,显然8281除以100所得余数为81.5.的值为()A.3×210B.310C.(29-1)D.(310-1)答案:D解析：因为+2+22·+…+210·=（1+2）10=310，所以+2·+…+29=（310-1）.6.已知=729，则n=______________.3答案:6解析：+2+22+…+2n=(1+2)n=729.3n=729,n=6.7.设m=37+·35+·33+·3，n=·36+·34+·32.则m-n=_____________-.答案:129解析：m-n=37-·36+·35-·34+…+·3-+=（3-1）7+1=129.8.求证:<(n≥2,n∈N).证明：原不等式2n>2n>.∵2n=(1+1)n=+++…+≥++(n≥2),又+>0,∴2n>.即原不等式成立.9.已知(a2+1)n展开式中的各项系数之和等于(x2+)5的展开式的常数项,而(a2+1)n的展开式的系数最大的项等于54,求a的值.(a∈R).解：()5的通项公式为Tr+1=(x2)5-r·（）r=Cr5·（）5-rx令20-5r=0，则r=4,所以常数项为T5=×=16.又（a2+1）n展开式的各项系数之和为2n,依题意，2n=16,n=4,由二项式系数的性质和（a2+1）4展开式中系数最大的项是中间项T3，所以（a2）2=54，即a4=9,所以a=±.10.当n∈N且n>1时,求证2<(1+)n<3.证明：（1+）n=1+++…+＞1+=2.(1+)n=2+4=2+=3-21-n＜3,因此2＜(1+)n＜3(n＞1,且n∈N).5
