第一节圆锥曲线与方程课时作业练1.过点P1(1,5)作一直线交x轴于点A(不与x轴垂直),过点P2(2,7)作直线P1A的垂线,交y轴于点B,点M在线段AB上,且BM∶MA=1∶2,求动点M的轨迹方程.解析由题意可知,直线P1A和P2B的斜率均存在,且不为0.设直线P2B的方程为y-7=k(x-2),则直线P1A的方程为y-5=-1k(x-1),则有A(5k+1,0),B(0,-2k+7).设M(x,y),则由BM∶MA=1∶2,得{x=5k+13,y=-4k+143,消去k,整理得12x+15y-74=0.所以动点M的轨迹方程为12x+15y-74=0(x≠13).2.已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|⃗MA+⃗MB|=⃗OM·(⃗OA+⃗OB)+2.(1)求曲线C的方程;(2)点Q(x0,y0)(-20)是轨迹C上的一点,求∠F1AF2的平分线所在直线l的方程.解析(1)设点M的坐标是(x,y),点P的坐标是(xP,yP),由题意易得xP=x,yP=√2y. 点P在圆x2+y2=2上,∴x2+(√2y)2=2.整理得x22+y2=1.∴点M的轨迹C的方程是x22+y2=1.(2)由(1)知点M的轨迹C的方程是x22+y2=1,将点A(1,m)代入椭圆方程,得m=√22,∴直线AF1的斜率k=√221-(-1)=√24.故直线AF1的方程为y=√24(x+1),即x-2√2y+1=0.2由题意知直线AF2的斜率不存在,其方程为x=1.由点A在椭圆上的位置知,直线l的斜率为正数,设N(x,y)为直线l上的任意一点,则|x-2√2y+1|√1+8=|x-1|,即|x-2√2y+1|=3|x-1|.由x-2√2y+1=3(x-1),得x+√2y-2=0(斜率为负,舍去);由x-2√2y+1=-3(x-1),得2x-√2y-1=0.故直线l的方程为2x-√2y-1=0.4.(2018江苏徐州王杰中学高三月考)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=2px(p>0)的准线与x轴交于点M,过点M的直线与抛物线交于A,B两点.设A(x1,y1)到准线的距离d=λp(λ>0).(1)若y1=d=1,求抛物线的标准方程;(2)若⃗AM+λ⃗AB=0,求证:直线AB的斜率为定值.解析(1)由条件知,A(1-p2,1),代入抛物线方程得,p=1.所以抛物线的方程为y2=2x.(2)证明:设B(x2,y2),直线AB的方程为y=k(x+p2).将直线AB的方程代入y2=2px,消去y,得k2x2+p(k2-2)x+k2p24=0,所以x1=-p(k2-2)-2p√1-k22k2,x2=-p(k2-2)+2p√1-k22k2.因为d=λp,所以x1+p2=λp,又⃗AM+λ⃗AB=0,3所以x1+p2=λ(x2-x1).所以p=x2-x1=2p√1-k2k2.所以k2=2√2-2.所以直线AB的斜率为定值.5.(2018江苏高考信息预测)已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).(1)求抛物线C的方程;(2)过点F作直线,设直线交抛物线C于A,B两点,直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,若线段MN的长度为2√2,求直线AB的斜率.解析(1)由题意设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则p2=1,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),并设直线AB的方程为y=kx+1(k≠0).由{y=kx+1,x2=4y得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.所以|x1-x2|=4√k2+1.由{y=y1x1x,y=x-2解得点M的横坐标xM=2x1x1-y1=2x1x1-x124=84-x1.同理可得点N的横坐标xN=84-x2.因为线段MN的长度为2√2,4所以|MN|=√2|xM-xN|=√2|84-x1-84-x2|=8√2·|x1-x2x1x2-4(x1+x2)+16|=8√2√k2+1|4k-3|=2√2.所以k=-724.故直线AB的斜率为-724.6.(2018江苏海安高级中学阶段检测)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-4=0,抛物线C:y2=2px(p>0).(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证:线段PQ的中点坐标为(4-p,-p).解析(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点...
