专题11数列求和及数列的简单应用1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N*)，则a2017＝()A．1B．0C．－1D．2【答案】：A【解析】： an＋1＝(an－1)2，又a1＝1，∴a2＝0，a3＝1，a4＝0，…，∴数列{an}的奇数项为1，∴a2017＝1，故选A.2．已知正项数列{an}的前n项的乘积Tn＝(n∈N*)，bn＝log2an，则数列{bn}的前n项和Sn中的最大值是()A．S6B．S5C．S4D．S3【答案】：D3．已知函数y＝f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数x、y∈R，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立．若数列{an}满足a1＝f(0)，且f(an＋1)＝(n∈N*)，则a2017的值为()A．4033B．4029C．4249D．4209【答案】：A【解析】：根据题意，不妨设f(x)＝x，则a1＝f(0)＝1， f(an＋1)＝，∴an＋1＝an＋2，∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴an＝2n－1，∴a2017＝4033.4．等差数列{an}中的a4，a2016是函数f(x)＝x3－6x2＋4x－1的极值点，则loga1010＝()A.B．2C．－2D．－【答案】：D【解析】：因为f′(x)＝3x2－12x＋4，而a4和a2016为函数f(x)＝x3－6x2＋4x－1的极值点，所以a4和a2016为f′(x)＝3x2－12x＋4＝0的根，所以a4＋a2016＝4，又a4，a1010，a2016成等差数列，所以2a1010＝a4＋a2016，即a1010＝2，所以loga1010＝－，故选D.5．已知数列{an}满足···…·＝(n∈N*)，则a10＝()A．e26B．e29C．e32D．e35【答案】：C6．设等差数列{an}的前n项和为Sn且满足S15>0，S16<0，则，，…，中最大的项为()A.B.C.D.【答案】：D【解析】：由S15＝＝15a8>0，得a8>0.由S16＝＝<0，得a9＋a8<0，所以a9<0，且d<0.所以数列{an}为递减数列．所以a1，…，a8为正，a9，…，an为负，且S1，…，S15为正．所以<0，<0，…，<0.又0
a2>…>a8>0，所以0<<<…<.所以最大的项为，故选D.7．数列{an}满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N*都有：am＋n＝am＋an＋mn，则＋＋＋…＋＝()A.B.C.D.【答案】D【解析】法一因为an＋m＝an＋am＋mn，则可得a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，则可猜得数列的通项an＝，∴＝＝2，∴＋＋＋…＋＝2＝2＝.故选D.法二令m＝1，得an＋1＝a1＋an＋n＝1＋an＋n，∴an＋1－an＝n＋1，用叠加法：an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋…＋n＝，所以＝＝2.于是＋＋…＋＝2＋2＋…＋2＝2＝，故选D.8．设a1，a2，…，a50是以－1，0，1这三个整数中取值的数列，若a1＋a2＋…＋a50＝9且(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝107，则a1，a2，…，a50当中取零的项共有()A．11个B．12个C．15个D．25个【答案】A【解析】(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝a＋a＋…＋a＋2(a1＋a2＋…＋a50)＋50＝107，∴a＋a＋…＋a＝39，∴a1，a2，…，a50中取零的项应为50－39＝11(个)，故选A.9．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N＋)，则S100＝()A．1300B．2600C．0D．2602【答案】B10．设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x、y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x、y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x＋y)，a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，an＋1＝f(n＋1)＝f(1)f(n)＝an，∴Sn＝＝1－.则数列{an}的前n项和的取值范围是.11．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝a2＝1，{nSn＋(n＋2)an}为等差数列，则an＝()A.B.C.D.【答案】A12．已知定义在R上的函数f(x)、g(x)满足＝ax，且f′(x)g(x)
