【成才之路】2015-2016学年高中数学第2章5简单复合函数的求导法则课时作业北师大版选修2-2一、选择题1．函数y＝xln(2x＋5)的导数为()A．ln(2x＋5)－B．ln(2x＋5)＋C．2xln(2x＋5)D．[答案]B[解析]y′x＝[xln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x··(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋.2．已知f(x)＝sin2x＋sinx，那么f′(x)()A．是仅有最小值的奇函数B．是既有最大值又有最小值的偶函数C．是仅有最大值的偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数[答案]B[解析]f′(x)＝(sin2x＋sinx)′＝(sin2x)′＋(sinx)′＝cos2x·(2x)′＋cosx＝cos2x＋cosx.因为f′(x)＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1＝2(cosx＋)2－，又－1≤cosx≤1，所以函数f′(x)既有最大值又有最小值．因为f′(－x)＝cos(－2x)＋cos(－x)＝cos2x＋cosx＝f(x)，所以f′(x)是偶函数．故选B.3．(2014·全国大纲理，7)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于()A．2eB．eC．2D．1[答案]C[解析]本题考查了导数的应用和直线方程．点(1,1)在曲线上，对y求导得y＝ex－1＋xex－1，所以在点(1,1)处的切线的斜率为k＝2.曲线上某一点的导函数值，就是过该点的切线的斜率．4．若函数f(x)＝3cos(2x＋)，则f′()等于()A．－3B．3C．－6D．6[答案]B[解析]f′(x)＝－6sin(2x＋)，∴f′()＝－6sin(π＋)＝6sin＝3.5．函数y＝cos2x＋sin的导数为()A．－2sin2x＋B．2sin2x＋C．－2sin2x＋D．2sin2x－[答案]A[解析]y′x＝(cos2x＋sin)′＝(cos2x)′＋(sin)′＝－sin2x·(2x)′＋cos·()′＝－2sin2x＋.二、填空题6.(2014·三亚市一中月考)曲线y＝在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋14x＋3＝0上的点的最近距离是________．[答案]2－1[解析]y′|x＝1＝－|x＝1＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝2，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为2－1.7．曲线y＝sin3x在点P(，0)处的切线方程为____．[答案]3x＋y＝π[解析]y′x＝cos3x·(3x)′＝cos3x·3＝3cos3x.∴曲线y＝sin3x在点P(，0)处的切线斜率为3cos(3×)＝－3，∴切线方程为y＝－3·(x－)，即3x＋y＝π.8．(2014·西安模拟)曲线y＝e2x在点(0,1)处的切线方程为________．[答案]2x－y＋1＝0[解析]y′＝(e2x)′＝2e2x，k＝y′|x＝0＝2·e2×0＝2，∴切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y＝e3x；(2)y＝cos42x－sin42x.[解析](1)引入中间变量u＝φ(x)＝3x，则函数y＝e3x是由函数f(u)＝eu与u＝φ(x)＝3x复合而成的．查导数公式表可得f′(u)＝eu，φ′(x)＝3.根据复合函数求导法则可得(e3x)′＝f′(u)φ′(x)＝eu·3＝3e3x.(2)y＝cos42x－sin42x＝(cos22x＋sin22x)(cos22x－sin22x)＝cos4x.引入中间变量u＝φ(x)＝4x，则函数y＝cos4x是由函数f(u)＝cosu与u＝φ(x)＝4x复合而成的．查导数公式表可得f′(u)＝－sinu，φ′(x)＝4.根据复合函数求导法则可得(cos42x－sin42x)′＝(cos4x)′＝f′(u)φ′(x)＝－sinu·4＝－4sin4x.10．求y＝ln(2x＋3)的导数，并求在点(－，ln2)处切线的倾斜角．[分析]函数y＝ln(2x＋3)可以看作函数y＝lnu和u＝2x＋3的复合函数，根据复合函数的求导法则来求．[解析]令y＝lnu，u＝2x＋3，则y′x＝(lnu)′·(2x＋3)′＝·2＝.当x＝－时，y′＝＝1，即在点(－，ln2)处切线的倾斜角的正切值为1，所以倾斜角为.一、选择题1．y＝log3cos2x的导数是()A．－2log3e·tanxB．2log3e·cotxC．－2log3cosxD．[答案]A[解析]y′＝log3e·(cos2x)′＝log3e·2cosx·(cosx)′＝log3e·2cosx(－sinx)＝－2log3e·tanx.2．已知f(x)＝x2＋2f′·x，则f′＝()2A．B．－C．0D．无法确定[答案]A[解析] f(x)＝x2＋2f′·x，∴f′(x)＝2x＋2f′，∴f′＝2×＋2f′，∴f′＝－2×＝，即f′＝.3．函数f(x)＝cosx(x∈R)的图象按向量(m,0)平移后，得到函数y＝－f′(x)的图象，则m的值可以为()A．B．πC．－πD．－[答案]A[解析]考查三角函数的图象按向量平移常见三角函数的导数，f(x)＝cosx的图象按向量(m,0)平移后得到cos(x－m)＝－f′(x)＝sinx的图象，故选A．二、填空题4．f(x)＝，且f′(1)＝1，则a的值为_____...
