高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题1．(2015·课标全国Ⅱ改编)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为________．答案解析如图，设双曲线E的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则AB＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1,0)， △ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，∴BM＝AB＝2a，∠MBN＝60°，∴y1＝MN＝BMsin∠MBN＝2asin60°＝a，x1＝OB＋BN＝a＋2acos60°＝2a
将点M(x1，y1)的坐标代入－＝1，可得a2＝b2，∴e＝＝＝
如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足OP＝OF，且PF＝4，则椭圆C的方程为______________．答案＋＝1解析设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，右焦点为F′，连结PF′，如图所示，因为F(－2，0)为C的左焦点，所以c＝2
由OP＝OF＝OF′知，∠FPF′＝90°，即FP⊥PF′
在Rt△PFF′中，由勾股定理，得PF′＝＝＝8
由椭圆定义，得PF＋PF′＝2a＝4＋8＝12，1所以a＝6，a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2)2＝16，所以椭圆的方程为＋＝1
3．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．答案解析由已知得焦点坐标为F(，0)，因此直线AB的方程为y＝(x－)，即4x－4y－3＝0
方法一联立直线方程与抛物线方程化简得4y2－12y－9＝0，故|yA－yB|＝＝6
因此S△OAB＝·OF·|yA－yB|＝××6＝
方法二联立方程得x2－x＋＝0，故xA＋xB＝
根据抛物线的定义有AB＝xA＋xB＋p＝＋＝
