（新课标）高考数学大一轮复习 函数与导数解答题规范专练（一）理（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

解答题规范专练(一)函数与导数1．(2015·洛阳统考)已知函数f(x)＝ex＋ax2－e2x.(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；(2)若x>0时，总有f(x)>－e2x，求实数a的取值范围．2．已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a>0，设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a表示b；(2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．3．(2014·辽宁高考)已知函数f(x)＝(cosx－x)(π＋2x)－(sinx＋1)，g(x)＝3(x－π)cosx－4(1＋sinx)·ln.证明：(1)存在唯一x0∈，使f(x0)＝0；(2)存在唯一x1∈，使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1<π.答案1．解：(1)由f′(x)＝ex＋2ax－e2得：y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率k＝4a＝0，则a＝0.此时f(x)＝ex－e2x，f′(x)＝ex－e2.由f′(x)＝0，得x＝2.当x∈(－∞，2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以函数f(x)的单调增区间是(2，＋∞)，单调减区间是(－∞，2)．(2)由f(x)>－e2x得：a>－.设g(x)＝－，x>0，则g′(x)＝.∴当x∈(0,2)时，g′(x)>0，g(x)在(0,2)上单调递增；当x∈(2，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)在(2，＋∞)上单调递减．∴g(x)≤g(2)＝－.因此，a的取值范围为.2．解：(1)设曲线y＝f(x)与y＝g(x)(x>0)在公共点(x0，y0)处的切线相同，∵f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝，∴依题意得即由x0＋2a＝，得x0＝a或x0＝－3a(舍去)，则b＝a2＋2a2－3a2lna＝a2－3a2lna.(2)证明：设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋2ax－3a2lnx－b(x>0)，则F′(x)＝x＋2a－＝(x>0)，由F′(x)＝0得x＝a或x＝－3a(舍去)．当x变化时，F′(x)，F(x)的变化情况如下表：x(0，a)a(a，＋∞)F′(x)－0＋F(x)极小值结合(1)可知函数F(x)在(0，＋∞)上的最小值是F(a)＝f(a)－g(a)＝0.故当x>0时，有f(x)－g(x)≥0，即当x>0时，f(x)≥g(x)．3．证明：(1)当x∈时，f′(x)＝－(1＋sinx)(π＋2x)－2x－cosx<0，则函数f(x)在上为减函数，又f(0)＝π－>0，f＝－π2－<0，所以存在唯一x0∈，使f(x0)＝0.(2)考虑函数h(x)＝－4ln，x∈.令t＝π－x，则x∈时，t∈.设u(t)＝h(π－t)＝－4ln，则u′(t)＝.由(1)得，当t∈(0，x0)时，u′(t)>0，当t∈时，u′(t)<0.在(0，x0)上u(t)是增函数，又u(0)＝0，从而当t∈(0，x0]时，u(t)>0，所以u(t)在(0，x0]上无零点．在上u(t)为减函数，由u(x0)>0，u＝－4ln2<0，知存在唯一t1∈，使u(t1)＝0.所以存在唯一的t1∈，使u(t1)＝0.因此存在唯一的x1＝π－t1∈，使h(x1)＝h(π－t1)＝u(t1)＝0.因为当x∈时，1＋sinx>0，故g(x)＝(1＋sinx)h(x)与h(x)有相同的零点，所以存在唯一的x1∈，使g(x1)＝0.因x1＝π－t1，t1>x0，所以x0＋x1<π.