课时作业(十九)椭圆的标准方程一、选择题1．椭圆＋＝1的焦点坐标是()A．(±4,0)B．(0，±4)C．(±3,0)D．(0，±3)2．椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1的周长为()A．10B．20C．40D．503．已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是()A.＋x2＝1B.＋y2＝1或x2＋＝1C.＋y2＝1D．以上都不对4．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋y2＝1或＋＝1D．以上答案都不对二、填空题5．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A到F1，F2两点的距离之和为4，则椭圆C的方程是________．6．下列命题是真命题的是________(将所有真命题的序号都填上)．①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆；②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆；④若点P到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和等于点M(5,3)到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和，则点P的轨迹为椭圆．7．焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点的椭圆的方程是____________．三、解答题8．(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点，求它的标准方程；(2)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程．9．已知F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF1⊥PF2，求△F1PF2的面积．[尖子生题库]10．一动圆过定点A(2,0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程．1课时作业(十九)椭圆的标准方程1．答案：D2．解析：由椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝20，故选B.答案：B3．解析：设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0)，由题意得解得所以椭圆的标准方程为＋x2＝1.答案：A4．解析：直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，∴a2＝5，所求椭圆标准方程为＋＝1.答案：C5．解析：由|AF1|＋|AF2|＝2a＝4得a＝2，∴原方程化为＋＝1，将A代入方程得b2＝3，∴椭圆方程为＋＝1.答案：＋＝16．解析：①<2，故点P的轨迹不存在；②因为2a＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)；④点M(5,3)到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和为4>8，故点P的轨迹为椭圆．故填②④.答案：②④7．解析：∵椭圆焦点在x轴上，∴设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．∵椭圆经过(2,0)和，∴∴∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.答案：＋y2＝18．解析：(1)方法一：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由椭圆的定义知2a＝＋＝2，所以a＝.又因为c＝2，所以b2＝a2－c2＝10－4＝6.因此，所求椭圆的标准方程为＋＝1.方法二：设标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．依题意得解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)方法一：当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)．因为椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，所以则所以所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)因为椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，所以则与a＞b矛盾，故舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.2方法二：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．因为椭圆过(2,0)和(0,1)两点，所以所以综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.9．解析：∵F1，F2为椭圆焦点，∴|F1F2|＝12.∵P是椭圆上一点，∴根据椭圆性质，|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，①∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝122，②联立①②可求得|PF1|·|PF2|＝128.∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝64.10．解析：将圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，∴圆心坐标为B(－2,0)，半径为6，如图：由于动圆M与已知圆B相内切，设切点为C.∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6，|CM|＝|AM|，∴|BM|＋|AM|＝6.根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2,0)和点A(2,0)为焦点的椭圆，且2a＝6.∴a＝3，c＝2，b＝＝，∴所求圆心的轨迹方程为＋＝1.3
