第48课不等式的综合应用(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修4P16练习3改编)若函数y=tanθ+cossin，θ∈ππ2，，则函数y的最大值为.【答案】-22.(必修5P98练习2改编)若过定点P(1，2)的直线在x轴与y轴正半轴上的截距分别为a，b，则a·b的最小值为.【答案】83.(必修5P92习题6改编)如果把长为12cm的细铁丝截成四段，围成一个矩形，那么这个矩形面积的最大值是.【答案】9cm24.(必修5P93习题10改编)已知(m-2)(n-1)=4，且m>2，n>1，那么m+n的最小值是.【答案】7【解析】因为(m-2)(n-1)=4，所以m=4-1n+2，所以m+n=4-1n+2+n=4-1n+n-1+3≥24+3=7(当且仅当n=3，m=4时取等号)，故m+n的最小值为7.1.与不等式有关的常见综合问题有：函数、三角函数、数列、立体几何、解析几何中的最值问题.2.求解不等式的综合应用问题的一般步骤：(1)分析题意；1(2)建立数学模型；(3)解决数学问题；(4)检验作答.【要点导学】要点导学各个击破不等式的含参问题例1(2015·徐州、连云港、宿迁三检)已知实数x，y满足约束条件-0-50-30.xyxyy，，若不等式m(x2+y2)≤(x+y)2恒成立，则实数m的最大值是.【思维引导】从题干上看，题中的线性约束条件的作用是求目标函数z的取值范围是不会改变的，所以将不等式m(x2+y2)≤(x+y)2转化并能确定目标函数z是本题的核心问题.(例1)【答案】2513【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，显然地，A(2，3)，B(3，3)，令目标函数z=yx，它表示经过点(0，0)及可行域内的点(x，y)的直线的斜率，从而1≤z≤32.不等式m(x2+y2)≤(x+y)2恒成立，也就是m≤222()xyxy恒成立，令u=222()xyxy，2则u=1+222xyxy=1+2xyyx=1+23112zzz，当1≤z≤32时，2≤1z+z≤136，从而1213≤21zz≤1，2513≤1+21zz≤2，于是m≤2513，即实数m的最大值为2513.【精要点评】(1)本题是恒成立问题与基本不等式问题的综合题，较容易入手，需要考生完成的工作是灵活将这两个问题搭桥，以及如何将含两个变量x，y的式子消元成一个变量z.(2)含参问题一般分恒成立问题和存在性问题，通常先考虑分离参数(变量)再利用函数求最值问题求解参数取值范围.变式(2015·重庆一中模拟)设对任意实数x∈[-1，1]，不等式x2+ax-3a<0恒成立，则实数a的取值范围是.【答案】12，【解析】设f(x)=x2+ax-3a.因为对任意实数x∈[-1，1]，不等式x2+ax-3a<0恒成立，所以(-1)1--30(1)1-30faafaa，，即1-401-20aa，，所以1412aa，，故a>12.不等式与函数、三角、向量等知识的结合例2(2015·泰州期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=C且7a2+b2+c2=43，则△ABC面积的最大值为.3【思维引导】要求面积的最大值，首先要选择合适的参数来表示面积，然后运用基本不等式或函数法来求最值.【答案】55【解析】如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则AD⊥BC.(例2)方法一：由题知b=c，则7a2+2b2=43，所以b2=23-72a2，所以△ABC的面积S=12a22-4ab=12a21523-4a=14215·2154a·21523-4a≤115·22151523-442aa=55，当且仅当154a2=23-154a2，即a2=4315时取等号，所以△ABC面积的最大值为55.方法二：设BD=CD=m，AD=n，则由已知得7(2m)2+2(m2+n2)=43，所以15m2+n2=23≥215mn，所以mn≤55，当且仅当15m2=n2时取等号，此时m2=315，所以△ABC面积的最大值为55.变式设P(x，y)为函数y=x2-1(x>3)图象上一动点，记m=3-5-1xyx+3-7-2xyy，则当m取最小值时，点P的坐标为.【答案】(2，3)4【解析】方法一：m=23-6-1xxx+223-10-3xxx=6+2-3-1xx+2-1-3xx，因为x>3，所以x2-3>0，x-1>0，所以m≥6+2=8.当且仅当2-3-1xx=2-1-3xx，即x=2时，m取得最小值，此时点P的坐标为(2，3).方法二：m=3-3-2-1xyx+-13-6-2xyy=6+-2-1yx+-1-2xy，因为x>3，所以y>2，所以y-2>0，x-1>0，所以m≥8.当且仅当-2-1yx=-1-2xy时，m取得最小值.下同方法一.不等式的应用题例3某厂家拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x=3-1km(k为常数)，如...
