第一讲坐标系一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四小选项中，只有一项是符合题目要求的)．1．原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，则点(－2，－2)的极坐标是()A．B．C．D．解析：由直角坐标与极坐标互化公式：ρ2＝x2＋y2，tanθ＝(x≠0)．把点(－2，－2)代入即可得ρ＝4，tanθ＝，因为点(－2，－2)在第三象限，所以θ＝.答案：B2．在极坐标系中有如下三个结论：①点P在曲线C上，则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程；②tanθ＝1与θ＝表示同一条曲线；③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．在这三个结论中正确的是()A．①③B．①C．②③D．③解析：在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，但在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程，故①是错误的；tanθ＝1不仅表示θ＝这条射线，还表示θ＝这条射线，故②亦不对；ρ＝3与ρ＝－3差别仅在于方向不同，但都表示一个半径为3的圆，故③正确．答案：D3．可以将椭圆＋＝1变为圆x2＋y2＝4的伸缩变换()A．B．C．D．解析：方法一：将椭圆方程＋＝1化为＋＝4，∴2＋2＝4，令得x′2＋y′2＝4，即x2＋y2＝4，∴伸缩变换为所求．方法二：将x2＋y2＝4改写为x′2＋y′2＝4，设满足题意的伸缩变换为代入x′2＋y′2＝4得λ2x2＋μ2y2＝4，即＋＝1，与椭圆＋＝1比较系数得解得∴伸缩变换为即.答案：D4．极坐标方程4ρsin2＝5表示的曲线是()A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线1解析：若直接由所给方程很难断定它表示何种曲线，因此通常要把极坐标方程化为直角坐标方程，加以研究．4ρ·sin2＝4ρ·＝2ρ－2ρcosθ＝5，化为直角坐标方程：2－2x＝5，化简，得y2＝5x＋.故该方程表示抛物线．答案：D5．在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sinθ，过点作曲线C的切线，则切线长为()A．4B．C．2D．2解析：ρ＝4sinθ化为普通方程为x2＋(y－2)2＝4，点化为直角坐标为(2，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：切线长为＝2.答案：C6．已知点P的坐标为(1，π)，则过点P且垂直极轴的直线方程是()A．ρ＝1B．ρ＝cosθC．ρ＝－D．ρ＝解析：由点P的坐标可知，过点P且垂直极轴的直线方程在直角坐标系中为x＝－1，即ρcosθ＝－1，故选C．答案：C7．圆ρ＝4cosθ的圆心到直线tanθ＝1的距离为()A．B．C．2D．2解析：圆ρ＝4cosθ的圆心C(2,0)，如图所示，|OC|＝2，在Rt△COD中，∠ODC＝，∠COD＝，∴|CD|＝.答案：B8．在极坐标中，与圆ρ＝4sinθ相切的一条直线方程为()A．ρsinθ＝2B．ρcosθ＝2C．ρcosθ＝4D．ρcosθ＝－4解析：圆ρ＝4sinθ的圆心为，半径为r＝2，对于选项A，方程ρsinθ＝2对应的直线y＝2，与圆相交；对于选项B，方程ρcosθ＝2对应的直线x＝2，与圆相切；选项C，D对应的直线与圆相离．答案：B9．圆ρ＝r与圆ρ＝－2rsin(r＞0)的公共弦所在直线的方程为()A．2ρ(sinθ＋cosθ)＝rB．2ρ(sinθ＋cosθ)＝－rC．ρ(sinθ＋cosθ)＝rD．ρ(sinθ＋cosθ)＝－r解析：圆ρ＝r的直角坐标方程为x2＋y2＝r2①圆ρ＝－2rsin＝－2r＝－r(sinθ＋cosθ)．2两边同乘以ρ得ρ2＝－r(ρsinθ＋ρcosθ)， x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，∴x2＋y2＋rx＋ry＝0②①－②整理得(x＋y)＝－r，即为两圆公共弦所在直线的普通方程．再将直线(x＋y)＝－r化为极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝－r.答案：D10．极坐标系内曲线ρ＝2cosθ上的动点P与定点Q的最近距离等于()A．－1B．－1C．1D．解析：将曲线ρ＝2cosθ化成直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，点Q的直角坐标为(0,1)，则P到Q的最短距离为点Q与圆心的距离减去半径，即－1.答案：A二、填空题(每小题5分，共20分．把正确答案填在题中的横线上)11．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝，ρcosθ＋ρsinθ＝1围成图形的面积是________.解析：三条直线在直角坐标系下的方程依次为y＝0，y＝x，x＋y＝1.如图可知，S△POQ＝×|OQ|×|yp|＝×1×＝.答案：12．已知极坐标系中，极点为O，将点A绕极点逆时针旋转得到点B，且|OA|＝|OB|，则点B的直角坐标________.解析：依题意，点B的极坐标为， cos＝cos＝coscos－sinsin＝...
