3.2空间向量基本定理1.下列命题是真命题的有()①空间中的任何一个向量都可用a,b,c表示;②空间中的任何一个向量都可用基底a,b,c表示;③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示;④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示.A.4个B.3个C.2个D.1个解析:根据基底的含义可知②③是真命题.答案:C2.设命题p:a,b,c是三个非零向量;命题q:a,b,c为空间的一个基底,则命题p是命题q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析:若a,b,c为非零向量,则a,b,c不一定为空间的一个基底,但若a,b,c为空间的一个基底,则a,b,c肯定为非零向量,所以p是q的必要不充分条件.答案:B3.已知a,b,c是不共面的三个向量,则下列选项中能构成空间一个基底的一组向量是()A.2a,a-b,a+2bB.2b,b-a,b+2aC.a,2b,b-cD.c,a+c,a-c解析:设a+2b=λ(2a)+μ(a-b),得λ=,μ=-2,所以2a,a-b,a+2b共面.同理可得B,D选项中的三个向量分别共面,均不能构成空间的一个基底.答案:C4.在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是四边形BB1C1C的中心,且=a,=b,=c,则=()A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.-a+b+c解析:)=c+(-)=c-a+(-c)+b=-a+b+c.答案:D5.已知平行六面体OABC-O'A'B'C'中,=a,=b,=c.若D是四边形OABC的中心,则()A.=-a+b+cB.=-b+a+cC.a-b-cD.a+c-b解析:=-b+)=-b+a+c.答案:B6.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若=a,=b,=c,且f=-a+b+c,k=a+b+c,h=a-b+c,那么在f,k,h中与相等的向量是.解析:求与相等的向量,就是用基向量a,b,c线性表示.)=-1=-a+b+c=f.答案:f7.如图,已知空间四边形OABC,M是OA的中点,G是△ABC的重心,用基底表示向量的表达式为.解析:)==-.答案:-8.已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面体,设M是底面ABCD的对角线的交点,N是侧面BCC'B'对角线BC'上的点,且分的比是3∶1,设=α+β+γ,则α,β,γ的值分别为、、.解析:∵=)+)=(-)+)=,∴α=,β=,γ=.答案:9.已知a,b,c是空间的一个基底.求证:向量a+b,b+c,c+a可以构成空间的一个基底.证明:假设a+b,b+c,c+a不能构成空间的一个基底,则它们共面,故存在实数x,y,使a+b=x(b+c)+y(c+a),即(y-1)a+(x-1)b+(x+y)c=0.∵a,b,c不共面,∴y-1,x-1,x+y同时为0,即x=1,y=1,x+y=0,这是不可能的.∴a+b,b+c,c+a可以构成空间的一个基底.10.如图,已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,G为△PDC的重心,=i,=j,=k,试用基底i,j,k表示向量.解:=)==i+j-k.====-i+j+k.备选习题1.下列说法中正确的是()A.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底B.空间的基底有且只有一个2C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D.基底a,b,c中的向量与基底e,f,g中的向量对应相等答案:C2.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E是四边形A'B'C'D'的中心,a=,b=,c==xa+yb+zc,则()A.x=2,y=1,z=B.x=2,y=,z=C.x=,y=,z=1D.x=,y=,z=解析:∵)=2a+b+c,∴x=2,y=1,z=.答案:A3.已知,在空间四边形ABCD中,G为△BCD的重心,E,F,H分别为边CD,AD和BC的中点.化简下列各表达式:(1);(2));(3).解:(1)因为G是△BCD的重心,所以||=|.所以.又因为,所以由向量加法的三角形法则,可知,从而.(2))=(2)==.(3)=)=[()+()]=)=.4.已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,若点M满足.(1)判断三个向量是否共面;(2)判断点M是否在平面ABC内.解:(1)由已知,得=3,∴=()+().∴=-.∴向量共面.(2)由(1)知向量共面,三个向量又有公共点M,∴四点M,A,B,C共面.∴点M在平面ABC内.5.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:3(1);(2);(3).解:(1)=a+c+b.(2)=-=-a+b+c.(3)=AB=a+b+c,c+a=a+c.则a+b+c+a+c=a+b+c.4
