5.2.2含有绝对值的不等式的证明自我小测1已知|a|＜1，|b|＜1，则|a＋b|＋|a－b|________2(用“＞”“＝”或“＜”填空)．2已知p、q、x∈R，pq≥0，x≠0，则______2.3函数y＝|x＋1|－|x－1|的最大值是________．4设f(x)＝ax2＋bx＋c，当|x|≤1时，总有|f(x)|≤1，求证：|f(2)|≤7.5(2010宁夏银川一中高考模拟，理24)设|a|≤1，函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)，证明|f(x)|≤.6若对任意实数x，不等式|x＋1|－|x－2|＞a恒成立，则a的取值范围是________．7若不等式|x－4|－|x－3|≤a对一切x∈R恒成立，那么实数a的取值范围是________．8若x＜5，n∈N，则下列不等式：①＜5；②|x|lg＜5lg；③xlg＜5；④|x|lg＜5，其中能够成立的有______．9已知f(x)＝x2－2x＋7，且|x－m|＜3，求证：|f(x)－f(m)|＜6|m|＋15.10已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1.(1)求证：|c|≤1；(2)求证：当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2.1参考答案1．＜解析：当a＋b与a－b同号时，|a＋b|＋|a－b|＝|a＋b＋a－b|＝2|a|＜2；当a＋b与a－b异号时，|a＋b|＋|a－b|＝|a＋b－a＋b|＝2|b|＜2.∴|a＋b|＋|a－b|＜2.2．≥解析：当p、q至少有一个为0时，≥2.当pq＞0时，p、q同号，则px与同号，∴＝|px|＋≥2.故≥2.3．2解析：y＝|x＋1|－|x－1|≤|x＋1＋1－x|＝2，当且仅当x≥1时，等号成立．4．证明：∵|x|≤1时，有|f(x)|≤1，∴|f(0)|＝|c|≤1，|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1.又f(1)＝a＋b＋c，f(－1)＝a－b＋c，∴|f(2)|＝|4a＋2b＋c|＝|3(a＋b＋c)＋(a－b＋c)－3c|＝|3f(1)＋f(－1)－3f(0)|≤＋≤|3f(1)|＋|f(－1)|＋|3f(0)|≤3＋1＋3＝7.∴|f(2)|≤7.5．证明：|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x|≤|x2－1|＋|x|＝1－x2＋|x|＝－2＋≤，即|f(x)|≤.6．(－∞，－3)解析：恒成立问题，往往转化为求最值问题，本题中a＜|x＋1|－|x－2|对任意实数恒成立，即a＜[|x＋1|－|x－2|]min，也就转化为求函数y＝|x＋1|－|x－2|的最小值问题．∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.∴[|x＋1|－|x－2|]min＝－3.∴a＜－3.7．[1，＋∞)解析：设f(x)＝|x－4|－|x－3|，则f(x)≤a对一切x∈R恒成立的充要条件是a≥f(x)的最大值，∵|x－4|－|x－3|≤|(x－4)－(x－3)|＝1，即f(x)的最大值等于1，∴a≥1.8．④解析：∵0＜＜1，∴lg＜0，由x＜5并不能确定|x|与5的关系，∴可以否定①②③，而|x|lg＜0，④成立．9．证明：|f(x)－f(m)|＝|(x－m)(x＋m－2)|＝|x－m||x＋m－2|＜3|x＋m－2|≤3(|x|＋|m|＋2)．又|x－m|＜3，∴－3＋m＜x＜3＋m.∴3(|x|＋|m|＋2)＜3(3＋|m|＋|m|＋2)＝6|m|＋15.∴|f(x)－f(m)|＜6|m|＋15.10．(1)证明：∵－1≤x≤1时，|f(x)|≤1，∴|f(0)|≤1，即|c|≤1.(2)证明：当a＞0时，g(x)＝ax＋b在[－1,1]上是增函数，∴g(－1)≤g(x)≤g(1)．∵当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1，且|c|≤1，2∴g(1)＝a＋b＝f(1)－c≤|f(1)|＋|c|≤2，g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c≥－(|f(－1)|＋|c|)≥－2，∴|g(x)|≤2.当a＜0时，g(x)＝ax＋b在[－1,1]上是减函数，∴g(－1)≥g(x)≥g(1)．∵－1≤x≤1时，|f(x)|≤1，且|c|≤1，∴g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c≤|f(－1)|＋|c|≤2.g(1)＝a＋b＝f(1)－c≥－(|f(1)|＋|c|)≥－2.∴|g(x)|≤2.当a＝0时，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c，且－1≤x≤1，∴|g(x)|＝|f(1)－c|≤|f(1)|＋|c|≤2.综上可知：|g(x)|≤2.3
