高考数学大一轮总复习 第三章 三角函数、三角恒等变形、解三角形 计时双基练24 解三角形应用举例 理 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP免费

计时双基练二十四解三角形应用举例A组基础必做1．某人向正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好是km，那么x的值为()A.B．2C.或2D．3解析如图所示，设此人从A出发，则AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，由余弦定理得()2＝x2＋32－2x·3·cos30°，整理得x2－3x＋6＝0，解得x＝或2。答案C2．张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A．2kmB．3kmC．3kmD．2km解析如图，由条件知AB＝24×＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°。由正弦定理知＝，所以BS＝sin30°＝3。答案B3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．10海里B．10海里C．20海里D．20海里解析如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)。答案A4．如图所示，长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tanα等于()A.B.C.D.解析由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5m，AC＝1.4m，BC＝2.8m，且∠α＋∠ACB＝π。由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cosα＝，所以sinα＝，所以tanα＝＝。答案A5.如图，在湖面上高为10m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1m)()A．2.7mB．17.3mC．37.3mD．373m解析 在△ACE中，tan30°＝＝。∴AE＝m。 在△AED中，tan45°＝＝，∴AE＝m，∴＝，∴CM＝＝10(2＋)≈37.3m。答案C6.如图所示，某电力公司为保护一墙角处的电塔，计划利用墙OA，OB，再修建一长度为AB的围栏，围栏的造价与AB的长度成正比。现已知墙角AOB的度数为120°，当△AOB的面积为时，就可起到保护作用。则当围栏的造价最低时，∠ABO＝()A．30°B．45°C．60°D．90°解析只要AB的长度最小，围栏的造价就最低。设OA＝a，OB＝b，则由余弦定理得AB2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab≥2ab＋ab＝3ab(当且仅当a＝b时取等号)，又S△AOB＝absin120°＝，所以ab＝4。故AB2≥12，即AB的最小值为2。由a＝b及3ab＝12，得a＝b＝2。由正弦定理得sin∠ABO＝＝×＝。故∠ABO＝30°，故选A。答案A7．甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则乙楼的高是________m。解析如图，依题意甲楼高度AB＝20tan60°＝20，又CM＝DB＝20m，∠CAM＝60°，所以AM＝CM·＝m，所以乙楼的高CD＝20－＝m。答案8．(2015—2016学年度上学期衡水中学高三年级六调考试)为了测量一古塔的高度，某人在塔的正西方向的A地测得塔尖的仰角为45°，沿着A向北偏东30°前进100米到达B地(假设A和B在海拔相同的地面上)，在B地测得塔尖的仰角为30°，则塔高为________米。解析如图所示，CD为古塔的高度，设为hm，由题意得，CD平面ABD，AB＝100米，∠BAD＝60°，∠CAD＝45°，∠CBD＝30°，在△CBD中，BD＝hm，在△CAD中，AD＝hm，在△ABD中，BD＝hm，AD＝hm，AB＝100m，∠BAD＝60°，∴3h2＝10000＋h2－2×100hcos60°，解得h＝50或－100(舍)，∴塔高为50米。答案509．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m。解析如图，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝×30＝10(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝＝＝10(m)。答案1010．(2015·陕西省安康市高三上学期调研)如图，某观测站C在城A的南偏西20°方向上，从城A出发有一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得距离C为31千米的公路上的B处有一辆车正沿着公路向城A驶去，...