第三章3.2第1课时抛物线及其标准方程一、选择题1．在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x＋2y＝3的距离相等的点的轨迹是()A．直线B．抛物线C．圆D．双曲线[答案]A[解析] 点(1,1)在直线x＋2y＝3上，故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x＋2y＝3垂直的直线．2．抛物线y2＝8px(p>0)，F为焦点，则p表示()A．F到准线的距离B．F到准线距离的C．F到准线距离的D．F到y轴的距离[答案]B[解析]设y2＝2mx(m>0)，则m表示焦点到准线的距离，又2m＝8p，∴p＝.3．抛物线y2＝x上一点P到焦点的距离是2，则P点坐标为()A．B．C．D．[答案]B[解析]设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋＝x0＋＝2，∴x0＝，∴y0＝±.4．一动点到点(3,0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．双曲线一支D．抛物线[答案]D5．(2014·新课标Ⅰ文)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝()A．1B．2C．4D．8[答案]A[解析]本题考查抛物线的定义及标准方程．由抛物线的定义知：|AF|＝x0＋＝x0，∴x0＝1.6．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为()A．48B．56C．64D．72[答案]A[解析]联立解得A(1，－2)，B(9,6)，则|AP|＝2，|BQ|＝10，|PQ|＝8，S梯形＝＝48.二、填空题7．抛物线y2＝8x的焦点F的坐标为________________；若P为抛物线y2＝8x上一点，点M的坐标是(4,2)，则|MP|＋|FP|的最小值为________________．[答案](2,0)6[解析]y2＝2×4x，所以焦点坐标为(2,0)．|PF|等于P点到抛物线y2＝8x的准线的距离d，所以|PF|＋|PM|的最小值等于M到抛物线准线的距离d′＝4＋2＝6.8．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝______________.[答案]2[解析]本小题主要考查抛物线的性质、弦长等基础知识．直线AB：y＝x－代入抛物线y2＝2px，得x2－3px＋＝0，∴x1＋x2＝3p，∴3p＋p＝8，∴p＝2.三、解答题9．已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程．(1)y2＝6x；(2)2y2－5x＝0.[分析]先根据抛物线的标准方程形式，求出p，再根据开口方向，写出焦点坐标和准线方程．[解析](1) 2p＝6，∴p＝3，开口向右．则焦点坐标是(，0)，准线方程为x＝－.(2)将2y2－5x＝0变形为y2＝x.∴2p＝，p＝，开口向右．∴焦点为(，0)，准线方程为x＝－.[总结反思]根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化为标准形式，求出的值，即可写出焦点坐标和准线方程．10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．[解析]解法一：设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则焦点F，由题设可得解得或.故抛物线方程为y2＝8x，m的值为±2.解法二：设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则焦点F，准线方程为x＝－.根据抛物线定义，点M到焦点的距离等于5，也就是点M到准线的距离等于5，则3＋＝5，∴p＝4，因此抛物线方程为y2＝8x.又点M(3，m)在抛物线上，于是m2＝24，∴m＝±2.[总结反思]解法二利用抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，既快捷又方便，要善于转化．一、选择题1．已知点M是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，F为抛物线的焦点，若以|MF|为直径作圆，则这个圆与y轴的关系是()A．相交B．相切C．相离D．以上三种情形都有可能[答案]B[解析]如图，由MF的中点A作准线l的垂线AE，交直线l于点E，交y轴于点B；由点M作准线l的垂线MD，垂足为D，交y轴于点C，则MD＝MF，ON＝OF，∴AB＝＝＝＝，∴这个圆与y轴相切．2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有()A．|P1F|＋|P2F|＝|P3F|B．|P1F|2＋|P2F|2＝|P3F|2C．2|P2F|＝|P1F|＋|P3F|D．|P2F|2＝|P1F|·|P3F|[答案]C[解析]因为P1、P2、P3在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，两边同时加上p，得2(x2＋)＝x1＋＋x3＋，即2|P2F|＝|P1F|＋|P3F|，故选C．3．(2014·万州市分水中学高二期中)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为()A．2B．2C．2D．4[答案]C[解析]抛物线C的准线方程为x...
