学业分层测评(五)2.2圆的切线的判定和性质(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.下列说法：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；④过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线，其中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.①④【解析】由圆的切线的定义知①②不正确，③④正确.【答案】C2.如图1241，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P为直线l上的一个动点，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是()图1241A.B.C.D.【解析】 PB切⊙O于点B，∴∠OBP＝90°，∴PB2＝OP2－OB2，而OB＝2，∴PB2＝OP2－4，即PB＝，当OP最小时，PB最小， 点O到直线l的距离为3，∴OP的最小值为3，∴PB的最小值为＝.【答案】A3.如图1242，CD切⊙O于B，CO的延长线交⊙O于A，若∠C＝36°，则∠ABD的度数是()图1242A.72°B.63°C.54°D.36°【解析】连接OB.1 CD为⊙O的切线，∴∠OBC＝90°. ∠C＝36°，∴∠BOC＝54°.又 ∠BOC＝2∠A，∴∠A＝27°，∴∠ABD＝∠A＋∠C＝27°＋36°＝63°.【答案】B4.如图1243，AB切⊙O于点B，延长AO交⊙O于点C，连接BC.若∠A＝40°，则∠C＝()图1243A.20°B.25°C.40°D.50°【解析】连接OB，因为AB切⊙O于点B，所以OB⊥AB，即∠ABO＝90°，所以∠AOB＝50°.又因为点C在AO的延长线上，且在⊙O上，所以∠C＝∠AOB＝25°.【答案】B5.如图1244，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，CD＝1，则⊙O的半径等于()图1244A.B.C.D.【解析】设⊙O的半径为r，由O向DC作垂线，垂足为E，则Rt△OED∽Rt△ACD.∴＝，即＝，解得：r＝.【答案】A二、填空题6.如图1245，在半径分别为5cm和3cm的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，则弦AB的长为______________cm.2图1245【解析】连接OA，OC， AB是小圆的切线，∴OC⊥AB，∴AC＝AB. 在Rt△AOC中，AC＝＝4(cm)，∴AB＝8cm.【答案】87.如图1246所示，AC切⊙O于D，AO的延长线交⊙O于B，且AB⊥BC，若AD∶AC＝1∶2，则AO∶OB＝______.【导学号：96990022】图1246【解析】如图所示，连接OD，则OD⊥AC. AC是⊙O的切线，∴OB＝OD，OC＝OC，∠ODC＝∠OBC＝90°.∴△CDO≌△CBO.∴BC＝DC. ＝，∴AD＝DC.∴BC＝AC.又OB⊥BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝30°.∴OB＝OD＝AO.∴＝.【答案】2∶18.圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D，E，则∠DAC＝__________，DC＝__________.【解析】连接OC， OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.又∠DCA＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OCB＝90°，∴∠DCA＝∠OCB， OC＝3，BC＝3，∴△OCB是正三角形.∴∠OBC＝60°，即∠DCA＝60°.∴∠DAC＝30°.在Rt△ACB中，AC＝＝3，3DC＝ACsin30°＝.【答案】30°三、解答题9.如图1247，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD，且∠AOD＝∠APC.求证：AP是⊙O的切线.图1247【证明】连接OP. PD⊥BE，∴∠OCD＝90°.∴∠ODC＋∠COD＝90°. OD＝OP，∴∠ODC＝∠OPC. ∠AOD＝∠APC，∴∠OPC＋∠APC＝90°.∴∠APO＝90°，即AP⊥PO.∴AP是⊙O的切线.10.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm.(1)求△ABC内切圆的半径；(2)若移动圆心O的位置，使⊙O保持与△ABC的边AC和边BC都相切，求r的取值范围.【解】(1)如图所示，⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F.连接OD，OE，OF，OB，则OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，∴AB＝5cm. OE＝OD，∠C＝90°，∴四边形CEOD是正方形.∴CD＝DO. OB＝OB，OD＝OF，∠ODB＝∠OFB＝90°，∴△ODB≌△OFB.∴BD＝BF.同理可得，AE＝AF.∴AC＋BC－AB＝AE＋EC＋BD＋DC－AF－BF＝EC＋DC＝2OD.∴内切圆的半径r＝OD＝＝＝1cm.(2)如图所示，动⊙O与AC，BC相切的最大的圆与AC，BC的切点分别是A，D，连接OA，OD，则四边形AODC是正方形，此时应有OA＝AC＝3cm，∴动圆的半径r的范围为(0,3].能力提升]41.AB是⊙O的切线，在下列给出的条件中，能判定AB⊥CD的是()A.AB与⊙O相切于直线CD上的点CB.CD经过圆心OC.CD是直径D.AB与⊙O相切于C，CD过圆心O【解析】圆...
