4.1.1导数与函数的单调性[A.基础达标]1．函数y＝xlnx在(0，5)上()A．是增加的B．是减少的C．在(0，)上是减函数，在(，5)上是增函数D．在(0，)上是增函数，在(，5)上是减函数解析：选C.y′＝(xlnx)′＝lnx＋x·＝lnx＋1，当x＝时，y′＝0，当x∈(0，)时，y′<0，当x∈(，＋∞)时，y′>0，又x∈(0，5)，即y在(0，)上是递减的，在(，5)上是递增的，故选C.2．函数f(x)＝lnx－x的递减区间为()A．(－∞，0)，(1，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，0)D．(0，1)解析：选B.f′(x)＝(lnx－x)′＝－1＝，令f′(x)<0得<0，所以x(1－x)<0，解得x>1或x<0.又x>0，所以x>1.3．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能为()解析：选D.由y＝f(x)图像可知，当x<0时，f(x)是增函数，f′(x)>0，排除A、C.当x>0时，函数图像先增加后减少再增加，其对应的导数是，先有f′(x)>0，再有f′(x)<0，最后f′(x)>0，因此D符合条件．4．若函数f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内是增加的，则m的取值范围是()A．m≥B．m>C．m≤D．m<解析：选A.f′(x)＝3x2＋4x＋m，由题意f′(x)≥0在R上恒成立，即对任意x∈R，3x2＋4x＋m≥0，所以m≥－(3x2＋4x)，由于－(3x2＋4x)的最大值是，故m≥.5．对于R上的任意连续函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有()A．f(0)＋f(2)<2f(1)B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1)D．f(0)＋f(2)>2f(1)解析：选C.由题意，当x>1时，f′(x)≥0，当x<1时，f′(x)≤0，由于函数f(x)为连续函数，所以f′(1)＝0必成立．所以当f′(x)恒为0时，函数f(x)在[1，＋∞)上是增加的，在(－∞，1)上是减少的，所以f(0)>f(1)，f(2)>f(1)．所以f(0)＋f(2)>2f(1)，当f′(x)＝0恒成立时，f(x)为常数函数，f(0)＝f(2)＝f(1)，即f(0)＋f(2)＝2f(1)．所以f(0)＋f(2)≥2f(1)．6．函数f(x)＝excosx，则f与f的大小关系为________．解析：因为f′(x)＝ex(cosx－sinx)＝exsin(－x)，所以是函数f(x)的一个递增区间，又0<<<，所以f
0得a2>1，解得a<－1或a>1.1即a的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)9．已知函数f(x)＝x3－6x－1.(1)求函数f(x)在x＝2处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间．解：(1)因为f′(x)＝3x2－6，所以f′(2)＝6，因为f(2)＝－5，所以切线方程为y－(－5)＝6(x－2)，所以y＝6x－17，即6x－y－17＝0.(2)令f′(x)>0，则3(x2－2)>0，所以x>或x<－，同理，令f′(x)<0，则－0得x<－或x>1；令f′(x)<0得－0，又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数且在R上递增，由f(a－x)＋f(ax2－1)<0得f(ax2－1)0时，需Δ＝(－1)2－4a(a－1)>0，即4a2－4a－1<0，解得0g...
