2018高考数学异构异模复习考案第八章立体几何8.5.1空间向量的运算及利用空间向量证明平行与垂直撬题理1．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝11，AD＝7，AA1＝12.一质点从顶点A射向点E(4,3,12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i－1次到第i次反射点之间的线段记为Li(i＝2,3,4)，L1＝AE，将线段L1，L2，L3，L4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是()答案C解析由对称性知质点经点E反射到平面ABCD的点E1(8,6,0)处．在坐标平面xAy中，直线AE1的方程为y＝x，与直线DC的方程y＝7联立得F.由两点间的距离公式得E1F＝， tan∠E2E1F＝tan∠EAE1＝，∴E2F＝E1F·tan∠E2E1F＝4.∴E2F1＝12－4＝8.∴＝＝＝＝.故选C.2．已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2＝.若空间向量b满足b·e1＝2，b·e2＝，且对于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，则x0＝________，y0＝________，|b|＝________.答案122解析 e1，e2是单位向量，e1·e2＝，∴cos〈e1，e2〉＝，又 0°≤〈e1，e2〉≤180°，∴〈e1，e2〉＝60°.不妨把e1，e2放到空间直角坐标系O－xyz的平面xOy中，设e1＝(1,0,0)，则e2＝，再设OB＝b＝(m，n，r)，由b·e1＝2，b·e2＝，得m＝2，n＝，则b＝(2，，r)．而xe1＋ye2是平面xOy上任一向量，由|b－(xe1＋ye2)|≥1知，点B(2，，r)到1平面xOy的距离为1，故可得r＝1.则b＝(2，，1)，∴|b|＝2.又由|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1知x0e1＋y0e2＝(2，，0)，解得x0＝1，y0＝2.3．如下图，已知四棱台ABCD－A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，A1A＝6，且A1A⊥底面ABCD.点P，Q分别在棱DD1，BC上．(1)若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；(2)若PQ∥平面ABB1A1，二面角P－QD－A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．解由题设知，AA1，AB，AD两两垂直．以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如右图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B1(3,0,6)，D(0,6,0)，D1(0,3,6)，Q(6，m,0)，其中m＝BQ,0≤m≤6.(1)证明：若P是DD1的中点，则P，PQ＝.又AB1＝(3,0,6)，于是AB1·PQ＝18－18＝0，所以AB1⊥PQ，即AB1⊥PQ.(2)由题设知，DQ＝(6，m－6,0)，DD1＝(0，－3,6)是平面PQD内的两个不共线向量．设n1＝(x，y，z)是平面PQD的一个法向量，则即取y＝6，得n1＝(6－m,6,3)．又平面AQD的一个法向量是n2＝(0,0,1)，所以cos〈n1，n2〉＝＝＝.而二面角P－QD－A的余弦值为，因此＝，解得m＝4，或m＝8(舍去)，此时Q(6,4,0)．设DP＝λDD1(0<λ≤1)，而DD1＝(0，－3，6)，由此得点P(0,6－3λ，6λ)，所以PQ＝(6,3λ－2，－6λ)．因为PQ∥平面ABB1A1，且平面ABB1A1的一个法向量是n3＝(0,1,0)，所以PQ·n3＝0，即3λ－2＝0，亦即λ＝，从而P(0,4,4)．于是，将四面体ADPQ视为以△ADQ为底面的三棱锥P－ADQ，则其高h＝4.故四面体ADPQ的体积V＝S△ADQ·h＝××6×6×4＝24.4．如图，四棱锥P－ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝，M为BC上一点，且BM＝，MP⊥AP.2(1)求PO的长；(2)求二面角A－PM－C的正弦值．解(1)如图，连接AC，BD，因ABCD为菱形，则AC∩BD＝O，且AC⊥BD.以O为坐标原点，OA，OB，OP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O－xyz.因∠BAD＝，故OA＝AB·cos＝，OB＝AB·sin＝1，所以O(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，C(－，0,0)，OB＝(0,1,0)，BC＝(－，－1,0)．由BM＝，BC＝2知，BM＝BC＝，从而OM＝OB＋BM＝，即M.设P(0,0，a)，a>0，则AP＝(－，0，a)，MP＝.因为MP⊥AP，故MP·AP＝0，即－＋a2＝0，所以a＝，a＝－(舍去)，即PO＝.(2)由(1)知，AP＝，MP＝，CP＝.设平面APM的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面PMC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，由n1·AP＝0，n1·MP＝0，得故可取n1＝，由n2·MP＝0，n2·CP＝0，得故可取n2＝(1，－，－2)，从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝＝－，故所求二面角A－PM－C的正弦值为.5．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，E为PB的中点，AD⊥AE，且PA＝AB＝，AD＝AE＝1.3(1)证明：PA⊥平面ABCD；(2)求二面角B－EC－D的正弦值．解(1)...
