第三节圆的方程课时作业练1.若点(2a,a+1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,则a的取值范围是.答案-1
0,化简得3a2+4a-4<0,解得-22,解得a>2.11.已知△ABC的顶点坐标分别是A(-1,0),B(2,√3),C(1,-2),O为坐标原点.(1)求△ABC外接圆的方程;(2)设P为△ABC外接圆上任意一点,求|OP|的最大值和最小值.解析(1)设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,代入A,B,C的坐标,得{1-D+F=0,4+3+2D+√3E+F=0,1+4+D-2E+F=0,解得{D=-2,E=0,F=-3.所以△ABC外接圆的方程为x2+y2-2x-3=0.(2)设圆上任意一点P(x0,y0),则x02+y02-2x0-3=0,所以|OP|2=x02+y02=2x0+3.又△ABC外接圆的标准方程为(x-1)2+y2=4,所以x0∈[-1,3].3所以|OP|2的最小值为1,最大值为9.所以|OP|的最小值为1,最大值为3.12.已知曲线C:x2+y2-4mx+2my+20m-20=0.(1)求证:对任意m∈R,曲线C恒过一定点;(2)求证:当m≠2时,曲线C是一个圆,且圆心在一条定直线上.证明(1)曲线C的方程可化为(x2+y2-20)+m(-4x+2y+20)=0,由{x2+y2-20=0,-4x+2y+20=0解得{x=4,y=-2,∴对任意m∈R,曲线C恒过一定点(4,-2).(2)令D=-4m,E=2m,F=20m-20,∴D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2. m≠2,∴D2+E2-4F>0.∴曲线C是一个圆.设圆心坐标为(x,y),由{x=2m,y=-m消去m得x+2y=0,即圆心在定直线x+2y=0上.13.(2018江苏泰州阶段检测)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.解析(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则⃗CM=(x,y-4),⃗MP=(2-x,2-y).由题设知⃗CM·⃗MP=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于点P在圆C的内部,所...
