高中数学 4.1 坐标系 1 直角坐标系学业分层测评 苏教版选修4-4-苏教版高二选修4-4数学试题VIP免费

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学4.1坐标系1直角坐标系学业分层测评苏教版选修4-4(建议用时：45分钟)学业达标]1．已知点Q(1,2)，求Q点关于M(3,4)的对称点．【解】设点P的坐标为(x，y)，由题意知，M是PQ的中点，因此∴∴点P的坐标为(5,6)．2．设△ABC的三个顶点坐标分别为A(3，－1)，B(8,2)，C(4,6)，求△ABC的面积．【解】如图，作直线l：y＝－1，过点B、C向l引垂线，垂足分别为B1、C1，则△ABC的面积为S＝S△AC1C＋S梯形CC1B1B－S△AB1B＝×1×7＋(7＋3)×4－×5×3＝16.3．已知点P(0,4)，求P点关于直线l：3x－y－1＝0的对称点．【解】设P点关于l的对称点Q的坐标为(a，b)，由题意得即解之得∴P点关于直线l的对称点坐标为(3,3)．4．已知一条长为6的线段两端点A，B分别在x，y轴上滑动，点M在线段AB上，且AM∶MB＝1∶2，求动点M的轨迹方程．【导学号：98990002】【解】如图，设A(xA,0)，B(0，yB)，M(x，y)，∵AB＝6，∴＝6，即x＋y＝36，①又∵AM∶MB＝1∶2，∴x＝，y＝，即代入①得x2＋9y2＝36，即x2＋4y2＝16.得动点M的轨迹方程为x2＋4y2＝16.5．设点P是矩形ABCD所在平面上任意一点，试用解析法证明：PA2＋PC2＝PB2＋PD2.【证明】如图，以(矩形的)顶点A为坐标原点，边AB、AD所在直线分别为x轴与y轴建立平面直角坐标系，并设B(b,0)、D(0，d)，则点C的坐标为(b，d)．又设P(x，y)，1则PA2＋PC2＝x2＋y2＋(x－b)2＋(y－d)2，PB2＋PD2＝(x－b)2＋y2＋x2＋(y－d)2.比较两式，可知PA2＋PC2＝PB2＋PD2.6．有相距1400m的A、B两个观察站，在A站听到爆炸声的时间比在B站听到时间早4s．已知当时声音速度为340m/s，试求爆炸点所在的曲线．【解】由题知：爆炸点P到B的距离比到A的距离多340×4＝1360米．即PB－PA＝1360＜1400，PB＞PA.故P在以A、B为焦点的双曲线上，且离A近的一支．以A、B两点所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由题意得，2a＝1360,2c＝1400，故a＝680，c＝700，b2＝7002－6802＝27600，故爆炸点所在曲线为－＝1(x＜0)．7．在黄岩岛海域执行渔政执法的渔政310船发现一艘不明船只从离小岛O正东方向80海里的B处，沿东西方向向O岛驶来．指挥部立即命令在岛屿O正北方向40海里的A处的我船沿直线前往拦截，以东西方向为x轴，南北方向为y轴，岛屿O为原点，建立平面直角坐标系并标出A，B两点，若两船行驶的速度相同，在上述坐标系中标出我船最快拦住不明船只的位置，并求出该点的坐标．【解】A，B两点如图所示，A(0,40)，B(80,0)，∴OA＝40(海里)，OB＝80(海里)．我船直行到点C与不明船只相遇，设C(x,0)，∴OC＝x，BC＝OB－OC＝80－x.∵两船速度相同，∴AC＝BC＝80－x.在Rt△AOC中，OA2＋OC2＝AC2，即402＋x2＝(80－x)2，解得x＝30.∴点C的坐标为(30,0)．能力提升]8．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图412，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为＋＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M(0，)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8,0)．观测点A(4,0)，B(6,0)．2图412(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x轴上方时，航天器离观测点A、B分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？【解】(1)设曲线方程为y＝ax2＋，∵点D(8,0)在抛物线上，∴a＝－，∴曲线方程为y＝－x2＋.(2)设变轨点为C(x，y)，根据题意可知得4y2－7y－36＝0.y＝4或y＝－(舍去)，∴y＝4.得x＝6或x＝－6(舍去)．∴C点的坐标为(6,4)，AC＝2，BC＝4.所以当航天器离观测点A、B的距离分别为2、4时，应向航天器发出变轨指令．3