【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学4.1坐标系1直角坐标系学业分层测评苏教版选修4-4(建议用时:45分钟)学业达标]1.已知点Q(1,2),求Q点关于M(3,4)的对称点.【解】设点P的坐标为(x,y),由题意知,M是PQ的中点,因此∴∴点P的坐标为(5,6).2.设△ABC的三个顶点坐标分别为A(3,-1),B(8,2),C(4,6),求△ABC的面积.【解】如图,作直线l:y=-1,过点B、C向l引垂线,垂足分别为B1、C1,则△ABC的面积为S=S△AC1C+S梯形CC1B1B-S△AB1B=×1×7+(7+3)×4-×5×3=16.3.已知点P(0,4),求P点关于直线l:3x-y-1=0的对称点.【解】设P点关于l的对称点Q的坐标为(a,b),由题意得即解之得∴P点关于直线l的对称点坐标为(3,3).4.已知一条长为6的线段两端点A,B分别在x,y轴上滑动,点M在线段AB上,且AM∶MB=1∶2,求动点M的轨迹方程.【导学号:98990002】【解】如图,设A(xA,0),B(0,yB),M(x,y),∵AB=6,∴=6,即x+y=36,①又∵AM∶MB=1∶2,∴x=,y=,即代入①得x2+9y2=36,即x2+4y2=16.得动点M的轨迹方程为x2+4y2=16.5.设点P是矩形ABCD所在平面上任意一点,试用解析法证明:PA2+PC2=PB2+PD2.【证明】如图,以(矩形的)顶点A为坐标原点,边AB、AD所在直线分别为x轴与y轴建立平面直角坐标系,并设B(b,0)、D(0,d),则点C的坐标为(b,d).又设P(x,y),1则PA2+PC2=x2+y2+(x-b)2+(y-d)2,PB2+PD2=(x-b)2+y2+x2+(y-d)2.比较两式,可知PA2+PC2=PB2+PD2.6.有相距1400m的A、B两个观察站,在A站听到爆炸声的时间比在B站听到时间早4s.已知当时声音速度为340m/s,试求爆炸点所在的曲线.【解】由题知:爆炸点P到B的距离比到A的距离多340×4=1360米.即PB-PA=1360<1400,PB>PA.故P在以A、B为焦点的双曲线上,且离A近的一支.以A、B两点所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,由题意得,2a=1360,2c=1400,故a=680,c=700,b2=7002-6802=27600,故爆炸点所在曲线为-=1(x<0).7.在黄岩岛海域执行渔政执法的渔政310船发现一艘不明船只从离小岛O正东方向80海里的B处,沿东西方向向O岛驶来.指挥部立即命令在岛屿O正北方向40海里的A处的我船沿直线前往拦截,以东西方向为x轴,南北方向为y轴,岛屿O为原点,建立平面直角坐标系并标出A,B两点,若两船行驶的速度相同,在上述坐标系中标出我船最快拦住不明船只的位置,并求出该点的坐标.【解】A,B两点如图所示,A(0,40),B(80,0),∴OA=40(海里),OB=80(海里).我船直行到点C与不明船只相遇,设C(x,0),∴OC=x,BC=OB-OC=80-x.∵两船速度相同,∴AC=BC=80-x.在Rt△AOC中,OA2+OC2=AC2,即402+x2=(80-x)2,解得x=30.∴点C的坐标为(30,0).能力提升]8.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图412,航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为+=1,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴,M(0,)为顶点的抛物线的实线部分,降落点为D(8,0).观测点A(4,0),B(6,0).2图412(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;(2)试问:当航天器在x轴上方时,航天器离观测点A、B分别为多远时,应向航天器发出变轨指令?【解】(1)设曲线方程为y=ax2+,∵点D(8,0)在抛物线上,∴a=-,∴曲线方程为y=-x2+.(2)设变轨点为C(x,y),根据题意可知得4y2-7y-36=0.y=4或y=-(舍去),∴y=4.得x=6或x=-6(舍去).∴C点的坐标为(6,4),AC=2,BC=4.所以当航天器离观测点A、B的距离分别为2、4时,应向航天器发出变轨指令.3