压轴题(三)12．(2019·江西上饶重点中学六校第二次联考)过△ABC的重心G作直线l，已知l与AB，AC的交点分别为M，N，＝，若AM＝λAB，则实数λ的值为()A．或B．或C．或D．或答案B解析设AN＝xAC，因为G为△ABC的重心，所以AB＋AC＝3AG，即AM＋AN＝AG.由于M，N，G三点共线，所以＋＝1，即x＝.因为＝，S△ABC＝|AB||AC|sinA，S△AMN＝|AM||AN|·sinA，所以＝＝＝，即有＝9，解得λ＝或.故选B.16．(2019·湖北宜昌元月调考)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，点An，Bn均在函数f(x)＝log2x的图象上，An的横坐标为an，Bn的横坐标为Sn＋1，直线AnBn的斜率为kn.若k1＝1，k2＝，则数列{an·f(an)}的前n项和Tn＝________.答案(n－2)·2n＋2解析由题意可知A1(a1，log2a1)，A2(a2，log2a2)，B1(S1＋1，log2(S1＋1))，B2(S2＋1，log2(S2＋1))，∴解得∴an＝2n－1，f(an)＝log22n－1＝n－1，∴an·f(an)＝(n－1)2n－1，∴Tn＝0×20＋1×21＋2×22＋…＋(n－2)×2n－2＋(n－1)×2n－1，①2Tn＝0×21＋1×22＋2×23＋…＋(n－2)×2n－1＋(n－1)×2n，②①－②，得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－1－(n－1)×2n，所以－Tn＝－(n－1)×2n，整理，得Tn＝(n－2)·2n＋2.20．已知F1(－2,0)，圆F2：(x－2)2＋y2＝24，若M为圆F2上的一个动点，且线段MF1的垂直平分线与MF2交于点C.(1)求动点C的轨迹方程；(2)已知点A，B为动直线y＝k(x－2)(k≠0)与动点C的轨迹的两个交点，点E(m,0)，当EA·EB为定值时，求m的值．解(1)由圆的方程可知，F2(2,0)，|MF2|＝2，因为|CF1|＝|CM|，所以|CF1|＋|CF2|＝|CM|＋|CF2|＝|MF2|＝2，又因为|F1F2|＝4<2，由椭圆的定义可得点C的轨迹方程为＋＝1.(2)由得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0，且Δ>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则根据题意，有EA·EB＝(x1－m，y1)·(x2－m，y2)＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1－2)(x2－2)＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋4k2＋m2＝(k2＋1)·－(2k2＋m)·＋4k2＋m2＝.要使上式为定值，即与k无关，则应3m2－12m＋10＝3(m2－6)，即m＝，此时EA·EB＝m2－6＝－为定值．21．已知函数f(x)＝lnx＋m(m∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的最小值为－1，m∈N*，数列{bn}满足b1＝1，bn＋1＝f(bn)＋3(n∈N*)，记Sn＝[b1]＋[b2]＋…＋[bn]，[t]表示不超过t的最大整数，证明：∑<.解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝－＝.①当m≤0时，f′(x)>0，即f(x)在(0，＋∞)上为增函数；②当m>0时，令f′(x)>0，得x>m，即f(x)在(m，＋∞)上为增函数；令f′(x)<0，得x1时，g′(m)＝－2<0，故g(m)在(1，＋∞)上是减函数．∴当m>1时，g(m)，ln3<，得2
