习题课--空间向量在空间问题中的综合应用课后训练案巩固提升1.在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=1,PB=2,PC=3,则点P到△ABC重心G的距离为()A.2B.C.1D.解析:以P为原点,以PA,PB,PC所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),于是G,故||=.答案:D2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,给出下列说法:①A1M∥D1P;②A1M∥B1Q;③A1M∥平面DCC1D;④A1M∥平面D1PQB1,则以上正确说法的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:因为,所以,所以A1M∥D1P,由线面平行的判定定理可知,A1M∥平面DCC1D1,A1M∥平面D1PQB1,故①③④正确.答案:C3.如图,在四面体A-BCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=1,CD=2,点E为CD中点,则AE的长为()A.B.1C.2D.解析:因为,||=||=1=||,且=0.又=()2,所以=3,即AE的长为.答案:B4.已知AB,BC,CD为两两垂直的三条线段,且它们的长都为2,则AD的长为()A.4B.2C.3D.2解析:因为,所以||2=||2=||2+||2+||2+2()=22+22+22+2(0+0+0)=12,故||=2.答案:D5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题:①()2=3;②·()=0;③的夹角为60°;④正方体的体积为||.其中正确命题的序号是.解析:()2=()2+()2+()2+2()=3()2,故①正确;设正方体棱长为a,则·()=()·()=a2-0+0-0+0-a2=0,故②正确;的夹角应为120°,故③错误;正方体的体积应为||·||·||,故④错误.答案:①②6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BC,DD1上的点,如果B1E⊥平面ABF,则CE与DF的和等于.解析:以D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设CE=x,DF=y,则易知E(x,1,1),B1(1,1,0),∴=(x-1,0,1).又F(0,0,1-y),B(1,1,1),∴=(1,1,y).2 AB⊥B1E,∴若B1E⊥平面ABF,只需=(1,1,y)·(x-1,0,1)=0,即x+y=1.答案:17.如图,矩形ABCD所在的平面与平面AEB垂直,且∠BAE=120°,AE=AB=4,AD=2,F,G,H分别为BE,AE,BC的中点.(1)求证:直线DE与平面FGH平行;(2)若点P在直线GF上,且平面ABP与平面BDP夹角的大小为,试确定点P的位置.(1)证明取AD的中点M,连接MH,MG. G,H分别是AE,BC的中点,∴MH∥AB,GF∥AB,∴M∈平面FGH.又MG∥DE,且DE⊈平面FGH,MG⫋平面FGH,∴DE∥平面FGH.(2)解在平面ABE内,过点A作AB的垂线,记为AP(图略),则AP⊥平面ABCD.以A为原点,AP,AB,AD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A-xyz.所以A(0,0,0),B(0,4,0),D(0,0,2),E(2,-2,0),G(,-1,0),F(,1,0).则=(0,2,0),=(0,-4,2),=(,-5,0).设=λ=(0,2λ,0),则=(,2λ-5,0).设平面PBD的法向量为n1=(x,y,z),则取y=,得z=2,x=5-2λ,故n1=(5-2λ,,2).又平面ABP的法向量为n2=(0,0,1),因此cos=,解得λ=1或λ=4.故=4(P(,1,0)或P(,7,0)).8.3如图,在四棱锥A-BCDE中,底面BCDE是等腰梯形,BC∥DE,∠DCB=45°,O是BC中点,AO=,且BC=6,AD=AE=2CD=2.(1)证明:AO⊥平面BCD;(2)求平面ACD与平面BCD夹角的正切值.(1)证明易得OC=3,连接OD,OE,在△OCD中,由余弦定理可得OD=,因为AD=2,所以AO2+OD2=AD2,所以AO⊥OD.同理可证AO⊥OE,又OD∩OE=O,所以AO⊥平面BCD.(2)解以O点为原点,建立空间直角坐标系O-xyz(如图),则A(0,0,),C(0,-3,0),D(1,-2,0),所以=(0,3,),=(-1,2,).设n=(x,y,z)为平面ACD的法向量,则即解得令x=1,得n=(1,-1,),由(1)知,=(0,0,)为平面CDB的一个法向量,所以cos=,故平面ACD与平面BCD夹角的正切值为.9.4导学号90074050如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AB+AD=4,CD=,∠CDA=45°.(1)求证:平面PAB⊥平面PAD.(2)设AB=AP.①若直线PB与平面PCD所成的角为30°,求线段AB的长.②在线段AD上是否存在一点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等?若存在,确定点G的位置;若不存在,请说明理由.(1)证明因为PA⊥平面ABCD,AB⫋平面ABCD,所以PA⊥AB.又AB⊥AD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD.又AB⫋平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)解①以A为坐标原点,建立空间直角坐标系A-xyz(如图).在平面ABCD内,作CE∥AB交AD于点E,则CE⊥AD.在Rt△CED中,DE=CD·cos45°=1,CE=CD·sin45°=1.设AB=AP=t,则B(t,0,0),P(0,0,t).由AB+AD=4,得AD=4-t,所以C(1,3-t,0),D(0,4-t,0),=(-1,1,0),=(0,4-t,-t).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),由n⊥,n⊥,得取x=t,得...
