3.2基本不等式与最大(小)值课后篇巩固探究1.若a>0,b>0,且ln(a+b)=0,则1a+1b的最小值是()A.14B.1C.4D.8解析:由a>0,b>0,ln(a+b)=0,得{a>0,b>0,a+b=1,所以1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab≥2+2√ba·ab=4,当且仅当a=b=12时,等号成立.所以1a+1b的最小值为4.答案:C2.若x>4,则函数y=-x+14-x()A.有最大值-6B.有最小值6C.有最大值-2D.有最小值2解析:因为x>4,所以x-4>0.所以y=-x+14-x=-[(x-4)+1x-4]-4≤-2-4=-6,当且仅当x-4=1x-4,即x=5时,等号成立.答案:A3.已知x>1,y>1,且14lnx,14,lny成等比数列,则xy有()A.最小值eB.最小值√eC.最大值eD.最大值√e解析:因为x>1,y>1,且14lnx,14,lny成等比数列,所以14lnx·lny=(14)2.1所以14=lnx·lny≤(lnx+lny2)2,当且仅当x=y=√e时,等号成立,所以lnx+lny≥1,即lnxy≥1,所以xy≥e.答案:A4.已知函数f(x)=|lgx|,若a≠b,且f(a)=f(b),则a+b的取值范围是()A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.(2,+∞)D.[2,+∞)解析:由已知得|lga|=|lgb|,a>0,b>0,所以lga=lgb或lga=-lgb.因为a≠b,所以lga=lgb不成立,所以只有lga=-lgb,即lga+lgb=0,所以ab=1,b=1a.又a>0,a≠b,所以a+b=a+1a>2.故选C.答案:C5.若log4(3a+4b)=log2√ab,则a+b的最小值是()A.6+2√3B.7+2√3C.6+4√3D.7+4√3解析:由题意得{√ab>0,3a+4b>0,所以{a>0,b>0.又log4(3a+4b)=log2√ab,所以log4(3a+4b)=log4ab.所以3a+4b=ab,所以4a+3b=1.所以a+b=(a+b)(4a+3b)=7+3ab+4ba≥7+2√3ab·4ba=7+4√3,当且仅当3ab=4ba,即a=4+2√3,b=3+2√3时取等号,故选D.答案:D6.若正数a,b,c满足c2+4bc+2ac+8ab=8,则a+2b+c的最小值为()A.√3B.2√3C.2D.2√2解析:方法一:c2+4bc+2ac+8ab=(c+2a)(c+4b)=8,因为a,b,c均为正数,所以由基本不等式得(c+2a)·(c+4b)≤(c+2a+c+4b2)2,所以a+2b+c≥2√2.当且仅当c+2a=c+4b,即a=2b时,等号成立.2方法二:(a+2b+c)2=a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc,因为c2+8ab+2ac+4bc=8,所以(a+2b+c)2=a2+4b2-4ab+8=(a-2b)2+8≥8,所以a+2b+c≥2√2.答案:D7.(2017山东高考)若直线xa+yb=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.解析:∵直线xa+yb=1过点(1,2),∴1a+2b=1.∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)(1a+2b)=4+(ba+4ab)≥4+2√ba·4ab=8.当且仅当b=2a时“=”成立.答案:88.导学号33194063(2017天津高考)若a,b∈R,ab>0,则a4+4b4+1ab的最小值为.解析:∵a,b∈R,且ab>0,∴a4+4b4+1ab≥4a2b2+1ab=4ab+1ab≥4(当且仅当{a2=2b2,4ab=1ab,即{a2=√22,b2=√24时取等号).答案:49.导学号33194064已知x>0,y>0,且2x+1y=1,若x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是.解析:因为x>0,y>0,且2x+1y=1,所以x+2y=(x+2y)(2x+1y)=4+4yx+xy≥4+2√4yx·xy=8,当且仅当4yx=xy,即x=4,y=2时,x+2y取得最小值8,所以m2+2m<8,解得-4
0,b>0,所以1a+1b=(1a+1b)(a+b)=2+ba+ab≥2+2√ba·ab=4,当且仅当a=b=12时,等号成立.所以1a+1b≥4.(2)解因为a+b=1,a>0,b>0,所以(a+1a)2+(b+1b)2≥2·(a+1a+b+1b2)2=12(1+1ab)2,又a+b2≥√ab,所以0
