4.7正弦定理和余弦定理教师专用真题精编1.(2018课标全国Ⅱ,6,5分)在△ABC中,cosC2=√55,BC=1,AC=5,则AB=()A.4√2B.√30C.√29D.2√5答案A本题考查二倍角公式和余弦定理.∵cosC2=√55,∴cosC=2cos2C2-1=2×15-1=-35,又∵BC=1,AC=5,∴AB=√BC2+AC2-2BC·ACcosC=√1+25-2×1×5×(-35)=4√2.故选A.2.(2018课标全国Ⅲ,9,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为a2+b2-c24,则C=()A.π2B.π3C.π4D.π6答案C本题考查解三角形及其综合应用.根据余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC,因为S△ABC=a2+b2-c24,所以S△ABC=2abcosC4,又S△ABC=12absinC,所以tanC=1,因为C∈(0,π),所以C=π4.故选C.3.(2018江苏,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.答案9解析本题考查基本不等式及其应用.依题意画出图形,如图所示.易知S△ABD+S△BCD=S△ABC,即12csin60°+12asin60°=12acsin120°,1∴a+c=ac,∴1a+1c=1,∴4a+c=(4a+c)(1a+1c)=5+ca+4ac≥9,当且仅当ca=4ac,即a=32,c=3时取“=”.4.(2018课标全国Ⅰ,17,12分)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=2√2,求BC.解析(1)在△ABD中,由正弦定理得BDsin∠A=ABsin∠ADB.由题设知,5sin45°=2sin∠ADB,所以sin∠ADB=√25.由题设知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB=√1-225=√235.(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=√25.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2√2×√25=25.所以BC=5.5.(2018北京理,15,13分)在△ABC中,a=7,b=8,cosB=-17.(1)求∠A;(2)求AC边上的高.解析(1)在△ABC中,因为cosB=-17,所以sinB=√1-cos2B=4√37.由正弦定理得sinA=asinBb=√32.由题设知π2<∠B<π,所以0<∠A<π2.所以∠A=π3.(2)在△ABC中,因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=3√314,所以AC边上的高为asinC=7×3√314=3√32.26.(2018天津,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(B-π6).(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解析本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.(1)在△ABC中,由正弦定理asinA=bsinB,可得bsinA=asinB,又由bsinA=acos(B-π6),得asinB=acos(B-π6),即sinB=cos(B-π6),可得tanB=√3.又因为B∈(0,π),可得B=π3.(2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π3,有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=√7.由bsinA=acos(B-π6),可得sinA=√3√7.因为a
