3.1.2瞬时变化率-导数一、填空题1．如果质点A按规律s＝2t3运动，则质点A在t＝3秒时的瞬时速度的大小为________．2．一辆汽车按规律s＝3t2＋1做直线运动，则这辆汽车在t＝3秒时的瞬时速度的大小为________．3．某物体做匀速运动，其运动方程是s＝vt＋b，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是________．4．函数y＝－在点(，－2)处的切线方程为________．5．曲线f(x)＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线斜率k为________．6．曲线y＝x3－2x2－4x＋2在点(1，－3)处的切线方程是________．7．若直线y＝x是曲线y＝x3－3x2＋ax的切线，则a＝________.8．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是________．9．已知曲线y＝x2－2上一点P(1，－)，则过点P的切线的倾斜角为________．二、解答题10．经过点(3,0)的直线l与抛物线y＝有两个交点，若抛物线y＝在这两点处的切线相互垂直，求直线l的斜率k.11．已知函数y＝x3＋的图象为曲线C.求曲线C在点P(2,4)处的切线方程．12．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求适合f′(x)＋2＝g′(x)的x的值以及此时f′(x)的值．1答案1解析：∵s＝2t3，∴＝＝2Δt2＋18Δt＋54，∵当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数54，∴质点A在t＝3秒时的瞬时速度的大小为54.答案：542解析：∵Δs＝3(3＋Δt)2＋1－(3×32＋1)＝3Δt2＋18Δt，∴＝＝3Δt＋18.∵当Δt无限趋近于0时，无限趋近于18，∴这辆汽车在t＝3秒时的瞬时速度的大小为18.答案：183解析：＝＝＝v，∴当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即物体在任意时刻的瞬时速度都是v.答案：相等4解析：∵y＝－，∴Δy＝－－(－)＝，∴＝，∴当Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数4.∴点(，－2)处切线斜率为4，∴切线方程为y＋2＝4(x－)．即y＝4x－4.答案：y＝4x－45解析：∵f(x)＝x2＋3x，∴＝＝Δx＋7，∴当Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数7，从而A点处切线斜率k＝7.答案：76解析：∵y＝x3－2x2－4x＋2，∴＝＝＝Δx2－Δx－5，∴当Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数－5，∴点(1，－3)处切线斜率为－5，∴切线方程为y＋3＝－5(x－1)，即5x＋y－2＝0.答案：5x＋y－2＝07解析：∵y＝x3－3x2＋ax，设切点(x0，y0)，2∴＝＝Δx2＋(3x0－3)Δx＋3x－6x0＋a.∴Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数3x－6x0＋a.∴∴或.答案：1或8解析：∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝a(x＋Δx)3＋3(x＋Δx)2＋2－(ax3＋3x2＋2)＝3ax2Δx＋3ax(Δx)2＋a(Δx)3＋6xΔx＋3(Δx)2，∴＝3ax2＋3axΔx＋a(Δx)2＋6x＋3Δx，∴Δx→0时，→3ax2＋6x，即f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4，解得a＝.答案：9解析：∵Δy＝(x＋Δx)2－2－(x2－2)＝xΔx＋(Δx)2.∴＝x＋Δx，∴Δx→0时，→x，即f′(x)＝x，∴过P点的斜率k＝f′(1)＝1，由tanα＝1，得α＝45°.答案：45°10解：显然，如果直线l的斜率不存在，则它与x轴垂直，这时它与抛物线只有一个交点，不合题意，故可设直线l的斜率为k，则其方程为y＝k(x－3)，设它与抛物线的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得x2－2kx＋6k＝0，所以x1x2＝6k，又对y＝有y′＝x，所以抛物线在A、B两点处的切线的斜率分别为x1，x2，于是有x1x2＝6k＝－1，所以k＝－.11解：∵＝＝x2＋xΔx＋(Δx)2.∴当Δx→0时，→x2.∴曲线在点P(2,4)处切线斜率k＝4，故所求切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.12解：∵＝＝2x＋Δx，∴Δx→0时，→2x，即f′(x)＝2x.又＝＝3x2＋3xΔx＋(Δx)2，∴Δx→0时，→3x2，即g′(x)＝3x2.∵f′(x)＋2＝g′(x)，∴2x＋2＝3x2，即3x2－2x－2＝0，解得x＝.此时f′()＝，f′()＝.34
