高二数学相似三角形的判定及有关性质人教实验版（A）知识精讲VIP专享VIP免费

高二数学相似三角形的判定及有关性质人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：相似三角形的判定及有关性质二.重点、难点：1.平行线等分线段定理及其推论2.平行线分线段成例定理及其推论3.相似三角形判定定理4.相似三角形性质5.射影定理【典型例题】[例1]如图△ABC中，∠C，∠B的平分线相交于O，过O作AO的垂线与边AB、AC分别交于D、E，求证：△BDO∽△BOC∽△DEC。证明：易得AO平分∠BAC，AO⊥DE∴∠ADO=∠AEO∴∠BDO=∠CEO又∠BDO=90°+21∠BAC∠BOC=180°－21（∠ABC+∠ACB）=90°+21∠BAC∴∠BDO=∠BOC又∠DBO=∠OBC∴△BDO∽△BOC同理△ECO∽△OCB∴△BDO∽△BOC∽△OEC[例2]已知：在△ABC中，D为BC边上的点，且AD=BD，∠BDE=∠DAC。求证：BDDCEABE::。证明： AD=BD∴∠B=∠1 ∠2=∠B+∠BDE又∠BDE=∠DAC∴∠2=∠BAC在△AED与△BAC中，∠1=∠B，∠2=∠BAC用心爱心专心∴△AED∽△BAC∴BCADABAE AD=BD∴BCBDABAEDCBDBDEBAEAEAEEBAEBDDCBD∴BDDCAEEB[例3]已知：D、E分别在△ABC的边AC和AB上，BD与CE交于F，其中AE=BE，32DCAD，40ABCS，求AEFDS。证明：取AD中点N，连结EN∴EN//21BD∴222243CNCDSSCNECDF169∴CNECDFSS169 ABCCAECNESSS10454∴CDFS916×410ABCS=940ABCS CAES=12ABCS∴AEFDS=CAESCDFS12ABCS940ABCS=1140ABCS=11[例4]如图，在等腰直角△ABC中，AB=1，∠A=90°，点E为腰AC的中点，点F在底边BC上，且EF⊥BE，求△CEF的面积。解：作FD⊥AC于D，设FD=x由AB=AC=1，∠A=90°，∠C=45°知∠DFC=45°=∠CDC=DF=x用心爱心专心DE=EC－DC=x21由EF⊥BE，DF⊥EC，∠A=90°知∠BEA=90°－∠FEC=∠EFD∠FDE=∠A∴△ABE∽△DEF2AEABFDED∴61,221xxx∴24161212121DFECSCEF[例5]已知：Rt△ABC中，∠BAC=90°，在AB，AC边上分别取点P、Q，连结PQ，作AF⊥PQ于F，AF延长线交BC于D，求证：ACAQABAPCDBD。证明：作BM⊥AD于M，CN⊥AD交AD延长线于点N PQ⊥AD∴PQ//BM//CN PQ//BM∴PFBMAPAB NC//PQ∴ACAQNCFQ∴ACAPAQABNCPFFQBMNCBM//DCBDNCBMPFDCFQBDACAPAQAB Rt△ABC中，∠BAC=90°AF⊥PQ∴由射影定理得PQPFAP2，PQFQAQ2∴FQPFAQAP22∴ACAPAQAB22APDCAQBD∴ACABAPDCAQBDAQACAPABDCBD用心爱心专心[例6]已知：△ABC中，∠A=2∠B，求证：ABACACBC22。证明：延长CA至D使AD=AB，连结BD，则∠1=∠D∴∠CAB=2∠D ∠CAB=2∠CBA∴∠CBA=∠D又 ∠C=∠C∴△ABC∽△BDC∴CDCBCBAC∴CDACCB2ADACACADACAC2)(又AD=AB∴ADACACCB22或作∠CAB平分线AD，△CAD∽△CBA∴CACBCDCA∴CBBDCBCBBDCBCA22)([例7]已知：在△ABC中CD为AB边上的高，E为BC边上的中点，DE的延长线交AC延长线于F，求证：BCACDFAF。证明：（1）方法一：在EF上截取EM=DE，连结BM CD⊥AB∴△DBC为Rt△ E为BC边上的中点∴DE=21BC又 EM=DE∴DM=BC∴EM=DMBE=EC∴BDCM用心爱心专心∴MC//BD∴ACAFDMDF∴BCACDFAF（2）方法二：作EM//BA交AC于M E为BC中点∴AM=21AC CD⊥AB∴△DBC为Rt∴DE=21BC EM//BA∴MAFADEFD∴1122FADFACBCDFAFBCAC[例8]如图，△ABC中，D、E分别在边BC，AB上且∠1=∠2=∠3，设△ABC，△EBD，△ADC的周长分别为m，m1，m2，求证：4521mmm。证明：令AB=c，BC=a，CA=b，由∠2=∠3知ED//AC，故△EDB∽△ACB∴BCBDmm1ACEDBABE，即bEDcBEaBDmm1由∠1=∠3，∠C公共∴△BAC∽△ADC∴ACDCABADmm2BCAC∴mm2abbDCcAD∴abbDCabDC2∴abaBDmmmm21abaDCa222)21(1ababab4545用心爱心专心当21ab即ACBC2时，mmm2145∴4521mmm[例9]已知：梯形ABCD中，∠B=∠C=90°过BC的中点F作FE⊥AD，且EF=CF，求证：CDABBC42。解：连结FD、FA FE⊥AD∴∠DEF=90° CF=EFFD=FD∠C=∠DEF=90°∴△DCF≌△DEF∴DE=DC∠1=∠2同理可证EA=BA∠3=∠4∴∠2+∠4=90°∴DFARt EF⊥AD由射影定理得EADEEF2 EF=CF∴CB...