2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1.a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a等于(C)(A)-1(B)0(C)1(D)2解析:因为a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1.故选C.2.已知向量a=(1,-2),b=(2m,1),若a⊥b,则m的值为(B)(A)-1(B)1(C)-(D)解析:向量a=(1,-2),b=(2m,1),若a⊥b,可得2m-2=0,解得m=1.故选B.3.已知|a|=1,b=(0,2),且a·b=1,则向量a与b夹角的大小为(C)(A)(B)(C)(D)解析:因为|a|=1,b=(0,2),且a·b=1,设a,b夹角为θ,所以cosθ===,所以θ=,所以向量a与b夹角的大小为.故选C.4.已知向量a=(1,-2),b=(x,4),且a∥b,则|a-b|等于(B)(A)5(B)3(C)2(D)2解析:因为a∥b,所以4+2x=0,所以x=-2,a-b=(1,-2)-(-2,4)=(3,-6),所以|a-b|=3.故选B.5.设向量a=(1,0),b=（,）,则下列结论中正确的是(C)1(A)|a|=|b|(B)a·b=(C)a-b与b垂直(D)a∥b解析:A项,因为|a|=1,|b|==,所以|a|≠|b|.故A错误.B项,因为a·b=1×+0×=,故B错误.C项,因为a-b=(1,0)-（,）=（,-）,所以(a-b)·b=（,-）·（,）=-=0,所以a-b与b垂直,故C正确.D项,因为1×-0×≠0,所以a不平行于b,故D错误.故选C.6.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c等于(D)(A)（,）(B)（-,-）(C)（,）(D)（-,-）解析:设c=(m,n),则a+c=(1+m,2+n),a+b=(3,-1).由(c+a)∥b,得2(2+n)-(-3)×(1+m)=0,①由c⊥(a+b),得3m-n=0.②联立①②,解得所以c=（-,-）.故选D.27.与向量a=（,）,b=（,-）的夹角相等,且模为1的向量是(B)(A)（,-）(B)（,-）或（-,）(C)（,-）(D)（,-）或（-,）解析:设与向量a=（,）,b=（,-）的夹角相等,且模为1的向量为(x,y),则解得或8.若函数y=Asin(ωx+)（A>0,ω>0,||<）在一个周期内的图象如图所示,M,N分别是这段图象的最高点和最低点,且·=0(O为坐标原点),则A等于(B)(A)(B)(C)(D)解析:由题意知M（,A）,N（,-A）,又因为·=×-A2=0,3所以A=.故选B.9.已知a=(3,-2),a+b=(0,2),则|b|=.解析:因为a=(3,-2),a+b=(0,2),所以b=(a+b)-a=(-3,4),所以|b|==5.答案:510.已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且a≠±b,则a+b与a-b的夹角的大小是.解析:法一(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=1-1=0,所以a+b与a-b的夹角为.法二设=a=(cosα,sinα),=b=(cosβ,sinβ),则||=||=1.所以a+b与a-b分别表示以,为邻边的菱形OACB的两条对角线所对应的向量,,由菱形的对角线垂直知a+b与a-b的夹角为.答案:11.在平面直角坐标系xOy中,已知=(3,-1),=(0,2).若·=0,=λ,则实数λ的值为.解析:由已知得=(-3,3),设C(x,y),则·=-3x+3y=0,所以x=y.4=(x-3,y+1).又=λ,即(x-3,y+1)=λ(0,2),所以由x=y得,y=3,所以λ=2.答案:212.已知a=(λ,2),b=(-3,5).(1)若a与b的夹角是钝角,则λ∈;(2)若a与b的夹角是锐角,则λ∈.解析:(1)因为a,b的夹角为钝角,所以a·b=(λ,2)·(-3,5)=-3λ+10<0,所以λ>.又当反向时,λ不存在,所以λ∈（,+∞）.(2)因为a,b的夹角为锐角,所以a·b=|a||b|cos
>0,所以-3λ+10>0,所以λ<.又当λ=-时,=0°不合题意.所以λ的范围为（-∞,-）∪（-,）.答案:(1)（,+∞）(2)（-∞,-)∪(-,)13.已知向量a=(1,2),b=(2,-2).(1)设c=4a+b,求(b·c)a;(2)若a+λb与a垂直,求λ的值;(3)求向量a在b方向上的投影.解:(1)因为a=(1,2),b=(2,-2).所以c=4a+b=(4,8)+(2,-2)=(6,6),所以b·c=2×6-2×6=0,所以(b·c)a=0.5(2)a+λb=(1,2)+λ(2,-2)=(2λ+1,2-2λ),由于a+λb与a垂直,所以2λ+1+2(2-2λ)=0,所以λ=.(3)设向量a与b的夹角为θ,向量a在b方向上的投影为|a|cosθ,所以|a|cosθ=|a|===-.14.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;(2)若|b|=,且a+2b与a-b垂直,求a与b的夹角θ.解:(1)由于a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2),且c∥a,可设c=λa=(λ,2λ),则由|c|==2,可得λ=±2,所以c=(2,4),或c=(-2,-4).(2)因为|b|=,且a+2b与a-b垂直,所以(a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2=0,化简可得a·b=-,即××cosθ=-,所以cosθ=-1,故a与b的夹角θ=π.15.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=(-1,2),又点A(8,0),B(n,t),C(ksinθ,t)(0≤θ≤).6(1)若⊥a,且||=||,求向量;(2)若向量与向量a共线,当k>4,且tsinθ取最大值4时,求·.解:(1)由题设知=(n-8...
