3.1.2两角和与差的正弦A级基础巩固1．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－B.C．－D.解析：sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°·sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝.答案：D2．sin45°cos15°＋cos225°sin15°的值为()A．－B．－C.D.解析：原式＝sin45°cos15°－cos45°sin15°＝sin(45°－15°)＝.答案：C3．在△ABC中，A＝，cosB＝，则sinC等于()A.B．－C.D．－解析：由cosB＝，且0＜B＜π，得sinB＝.又A＝，所以sinC＝sin(A＋B)＝sincosB＋cossinB＝×＋×＝.答案：A4．在△ABC中，已知sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB≥1，则△ABC是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定解析：因为sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB＝sinA≥1，所以sinA＝1.所以∠A＝90°.所以△ABC是直角三角形．答案：C5．化简：＝________．解析：＝＝＝＝－1.答案：－16．已知0≤x≤，若sinx＋cosx＝m，则m的取值范围是____．解析：sinx＋cosx＝2sin，因为0≤x≤，所以≤x＋≤.所以1≤2sin≤2.所以1≤m≤2.答案：[1，2]7．已知＜α＜，0＜β＜，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)的值．解：因为＜α＜π，所以＜＋α＜π.所以sin＝＝.又因为0＜β＜，π＜π＋β＜π，所以cos＝－＝－.所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sin＝－＝－＝.8．设方程12x2－πx－12π＝0的两根分别为α，β，求cosαcosβ－sinαcosβ－cosαsinβ－sinαsinβ的值．解：由题意知α＋β＝，故原式＝cos(α＋β)－sin(α＋β)＝2sin＝2sin＝2sin1＝2＝2＝.B级能力提升9．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则角α的值为()A.B．－C．0D．无法确定解析：由题意得cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，即cosα(cosβ＋sinβ)＝sinα(sinβ＋cosβ)，因为α，β均为锐角，所以sinβ＋cosβ≠0，所以cosα＝sinα，所以α＝.答案：A10．已知sinα－cosβ＝，cosα－sinβ＝，则sin(α＋β)＝______．解析：将条件等式两边平方相加得sin2α＋cos2β－2sinαcosβ＋cos2α＋sin2β－2cosαsinβ＝＋，即2－2·sin(α＋β)＝，所以sin(α＋β)＝.答案：11．(2014·广东卷)已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.(1)求A的值；(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.解：(1)由f＝Asin＝Asin＝＝，可得A＝3.(2)f(θ)－f(－θ)＝，则3sin－3sin＝，3－3＝，所以sinθ＝.因为θ∈，所以cosθ＝，故f＝3sin＝3sin＝3cosθ＝.12．已知α，β为锐角，cosα＝，cosβ＝，求α＋β的值．解：法一：因为α，β是锐角，cosα＝，cosβ＝，所以sinα＝＝，sinβ＝＝.sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝.因为0<α<，cosα＝<＝cos，所以由余弦函数性质可知<α<.同理，<β<，所以<α＋β<π.所以α＋β＝.法二：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.因为α，β是锐角，所以0<α＋β<π.所以α＋β＝.13．若函数f(x)＝(1＋tanx)cosx，0≤x<.(1)把f(x)化成Asin(ωx＋φ)的形式；(2)判断f(x)在上的单调性，并求f(x)的最大值．解：(1)f(x)＝(1＋tanx)·cosx＝cosx＋··cosx＝cosx＋sinx＝2＝2＝2sin.(2)因为0≤x<，所以≤x＋<，由x＋≤，得x≤.所以f(x)在上是单调增函数，在上是单调减函数．所以当x＝时，f(x)有最大值为2.23
