2016-2017学年高中数学第4章定积分3定积分的简单应用课后演练提升北师大版选修2-2一、选择题1．由直线x＝，x＝2，曲线y＝以及x轴所围成的图形的面积为()A.B.C.ln2D．2ln2解析：如图所示，所围图形的面积为S＝dx＝lnx＝ln2－ln＝2ln2.答案：D2．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c>0)围成图形的面积是，则c等于()A.B.C．1D.解析：由，得x＝0或x＝(c>0)．则围成图形的面积S＝(x2－cx3)dx＝，可求得c＝.答案：B3.dx等于()A.B.C．πD．2π解析：设y＝，则(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，因而dx表示圆(x－1)2＋y2＝1在x轴上方且x∈[0,1]的面积，即圆面积的，即dx＝.答案：A4．半椭圆＋＝1(y≥0)绕x轴旋转一周所得的旋转体体积为()A.B.πC．5πD．6π解析：V＝π·2dx＝2π·＝π.答案：A二、填空题5．抛物线y＝－x2＋4x－3与其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围图形的面积为____．解析：由y′＝－2x＋4，得在点A、B处切线的斜率分别为2和－2，则两切线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6.由得C(2,2)．∴S＝S△ABC－(－x2＋4x－3)dx＝×2×2－＝2－＝.答案：6．由曲线y＝lnx与直线y＝lnb，y＝lna(b＞a＞0)及y轴所围成的图形的面积为__1__．解析：由y＝lnx，得x＝ey，故S＝eydy＝ey＝elnb－elna＝b－a.答案：b－a三、解答题7．求由曲线xy＝1及直线y＝x，y＝2所围成的平面图形的面积．解析：由得或(舍)以y为积分变量可得面积为S＝dy＝＝－ln2.8．给定直角边为2的等腰直角三角形，绕一条直角边旋转一周，得到一个圆锥体，求它的体积．解析：在平面直角坐标系中，直角边为2的等腰直角三角形可以看成是由直线y＝x，x＝2，以及x轴所围成的平面图形．则旋转体的体积V＝πx2dx＝x3＝.9．如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．解析：抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，所以，抛物线与x轴所围图形的面积S＝(x－x2)dx＝＝.又，由此可得，抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝0，x4＝1－k，所以，＝(x－x2－kx)dx＝＝(1－k)3.又知S＝，所以(1－k)3＝，于是k＝1－＝1－.23
