习题课（二）空间向量与立体几何1．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不正确解析：选A v＝－3u，∴α∥β.2．已知直线l过定点A(2,3,1)，且n＝(0,1,1)为直线l的一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为()A.B.C.D.解析：选APA＝(－2,0，－1)，|PA|＝，PA·＝－，则点P到直线l的距离为＝＝.3．已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则AO1·AC的值为()A．－1B．0C．1D．2解析：选C由于AO1＝AA1＋A1O1＝AA1＋(A1B1＋A1D1)＝AA1＋(AB＋AD)，而AC＝AB＋AD，则AO1·AC＝·(AB＋AD)＝(AB＋AD)2＝(AB2＋AD2)＝1.4.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.则A1B与平面ABD所成角的正弦值为()A.B.C.D.解析：选A以C为坐标原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，CC1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．设CA＝CB＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，A1(a,0,2)，D(0,0,1)，∴E，G，GE＝，BD＝(0，－a,1)． 点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，∴GE⊥平面ABD，∴GE·BD＝0，解得a＝2.∴GE＝，BA1＝(2，－2,2)， GE⊥平面ABD，∴GE为平面ABD的一个法向量．又cos〈GE，BA1〉＝＝＝，∴A1B与平面ABD所成角的正弦值为.5．已知空间三点A(1,0,3)，B(－1,1,4)，C(2，－1,3)．若AP∥BC，且|AP|＝，则点P的坐标为()A．(4，－2,2)B．(－2,2,4)C．(4，－2,2)或(－2,2,4)D．(－4,2，－2)或(2，－2,4)解析：选C AP∥BC，∴可设AP＝λBC.易知BC＝(3，－2，－1)，则AP＝(3λ，－2λ，－1λ)．又|AP|＝，∴＝，解得λ＝±1，∴AP＝(3，－2，－1)或AP＝(－3,2,1)．设点P的坐标为(x，y，z)，则AP＝(x－1，y，z－3)，∴或解得或故点P的坐标为(4，－2,2)或(－2,2,4)．6.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为正三角形，且侧棱AA1⊥底面ABC，且底面边长与侧棱长都等于2，O，O1分别为AC，A1C1的中点，则平面AB1O1与平面BC1O间的距离为()A.B.C.D.解析：选B如图，连接OO1，根据题意，OO1⊥底面ABC，则以O为原点，分别以OB，OC，OO1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系． AO1∥OC1，OB∥O1B1，AO1∩O1B1＝O1，OC1∩OB＝O，∴平面AB1O1∥平面BC1O.∴平面AB1O1与平面BC1O间的距离即为O1到平面BC1O的距离． O(0，0,0)，B(，0,0)，C1(0,1,2)，O1(0,0,2)，∴OB＝(，0,0)，OC1＝(0,1,2)，OO1＝(0,0,2)，设n＝(x，y，z)为平面BC1O的法向量，则n·OB＝0，∴x＝0.又n·OC1＝0，∴y＋2z＝0，∴可取n＝(0,2，－1)．点O1到平面BC1O的距离记为d，则d＝＝＝.∴平面AB1O1与平面BC1O间的距离为.7.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为________．解析：不妨设CB＝1，则B(0,0,1)，A(2,0,0)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)．∴BC1＝(0,2，－1)，AB1＝(－2,2,1)．cos〈BC1，AB1〉＝＝＝.答案：8．已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为______________．解析：由OA＝(－1,1,0)，且点H在直线OA上，可设H(－λ，λ，0)，则BH＝(－λ，λ－1，－1)．又BH⊥OA，∴BH·OA＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝，∴H.答案：9.如图，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．解析：如图，建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，a,0)．设Q(1，t,0)(0≤t≤a)．P(0,0，z)．则PQ＝(1，t，－z)，QD＝(－1，a－t,0)．由PQ⊥QD，得－1＋t(a－t)＝0，即t2－at＋1＝0.由题意知方程t2－at＋1＝0只一解．∴Δ＝a2－4＝0，a＝2，这时t＝1∈[0，a]．答案：210.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以2AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．(1)设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角EAGC的大小．解：(1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP⊂平面ABP，A...
