第3讲基本初等函数、函数与方程及函数应用1．已知点M在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为________．[解析]设幂函数的解析式为f(x)＝xα，则3＝，得α＝－2．故f(x)＝x－2．[答案]f(x)＝x－22．(2019·常州模拟)函数y＝的值域为________．[解析]由指数函数性质知值域为(0，＋∞)．[答案](0，＋∞)3．函数y＝|x|2－|x|－12两个零点的差的绝对值是________．[解析]令|x|2－|x|－12＝0，得(|x|－4)(|x|＋3)＝0，即|x|＝4，所以两个零点的差的绝对值是|4－(－4)|＝8．[答案]84．(2019·绵阳期中)若a＝30．6，b＝log30．2，c＝0．63，则a，b，c的大小关系为________．[解析]30．6＞1，log30．2＜0，0＜0．63＜1，所以a＞c＞b．[答案]a＞c＞b5．(2019·山西大学附中期中)有四个函数：①y＝x；②y＝21－x；③y＝ln(x＋1)；④y＝|1－x|．其中在区间(0，1)内单调递减的函数的序号是________．[解析]分析题意可知①③显然不满足题意，画出②④中的函数图象(图略)，易知②④中的函数满足在(0，1)内单调递减．[答案]②④6．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________．[解析]因为2a＝5b＝m，所以a＝log2m，b＝log5m，所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2．所以m＝．[答案]7．(2019·南京、盐城高三模拟)已知函数f(x)＝－kx(e为自然对数的底数)有且只有一个零点，则实数k的取值范围是________．[解析]由题意，知x≠0，函数f(x)有且只有一个零点等价于方程－kx＝0只有一个根，即方程＝k只有一个根，设g(x)＝，则函数g(x)＝的图象与直线y＝k只有一个交点．因为g′(x)＝，所以函数g(x)在(－∞，0)上为增函数，在(0，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，g(x)的极小值g(2)＝，且x→0时，g(x)→＋∞，x→－∞时，g(x)→0，x→＋∞时，g(x)→＋∞，则g(x)的图象如图所示，由图易知0
0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，则a的值为________．[解析]令t＝ax(a>0且a≠1)，则原函数化为y＝(t＋1)2－2(t>0)．①当00，所以a＝．②当a>1时，x∈[－1，1]，t＝ax∈，此时f(t)在上是增函数．所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(a＝－5舍去)．综上得a＝或3．[答案]或310．(2019·江苏省高考名校联考信息卷(五))已知函数f(x)＝(x∈R)，g(x)满足g(2－x)＋g(x)＝0．若函数f(x－1)与函数g(x)的图象恰好有2019个交点，则这2019个交点的横坐标之和为______．[解析]由于f(－x)＋f(x)＝＋＝0，所以函数f(x)＝为奇函数，从而函数f(x－1)的图象关于点(1，0)对称．由函数g(x)满足g(2－x)＋g(x)＝0，可知g(x)的图象也关于点(1，0)对称，所以函数F(x)＝g(x)－f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，从而这2019个零点关于点(1，0)对称，由于F(1)＝g(1)－f(0)＝0，所以x＝1是F(x)的一个零点，其余2018个零点首尾结合，两两关于点(1，0)对称，和为2018，故所有这些零点之和为2019，即函数f(x－1)与函数g(x)的图象的2019个交点的横坐标之和为2019．[答案]201911．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1．(1)若存在x∈R使f(x)0⇒b<0或b>4．故b的取值范围为(－∞，0)∪(4，＋∞)．(2)F(x)＝x2－mx＋1－m2，Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4．①当Δ≤0，即－≤m≤时，则必需⇒－≤m≤0．②当Δ>0，即m<－或m>时，设方程F(x)＝0的根为x1，x2(x1
