第二章直线和圆的方程2.2直线的方程2.2.1直线的点斜式方程课后篇巩固提升基础达标练1.直线y-4=-√3(x+3)的倾斜角和所经过的定点分别是()A.30°,(-3,4)B.120°,(-3,4)C.150°,(3,-4)D.120°,(3,-4)解析斜率k=-√3,过定点(-3,4).答案B2.过点(0,1)且与直线y=12(x+1)垂直的直线方程是()A.y=2x-1B.y=-2x-1C.y=-2x+1D.y=2x+1解析与直线y=12(x+1)垂直的直线斜率为-2,又过点(0,1),所以所求直线方程为y=-2x+1,故选C.答案C3.直线y=kx+b通过第一、三、四象限,则有()A.k>0,b>0B.k>0,b<0C.k<0,b>0D.k<0,b<0解析如图,由图可知,k>0,b<0.答案B4.斜率为2的直线经过(3,5),(a,7)两点,则a=.解析经过点(3,5),斜率为2的直线的点斜式方程为y-5=2(x-3),将(a,7)代入y-5=2(x-3),解得a=4.答案45.直线l与直线x+y-2=0垂直,且它在y轴上的截距为4,则直线l的方程为.解析设直线l的方程为x-y+m=0,又它在y轴上的截距为4,∴m=4,∴直线l的方程为x-y+4=0.答案x-y+4=06.如图,直线l的斜截式方程是y=kx+b,则点(k,b)在第象限.解析由题图知,直线l的倾斜角是钝角,则k<0.又直线l与y轴的交点在y轴的正半轴上,则b>0,故点(k,b)在第二象限.答案二7.当a为何值时,直线l1:y=(2a-1)x+3与直线l2:y=4x-3(1)平行?(2)垂直?解由题意可知,kl1=2a-1,kl2=4.(1)若l1∥l2,则kl1=kl2,即2a-1=4,解得a=52.故当a=52时,直线l1:y=(2a-1)x+3与直线l2:y=4x-3平行.(2)若l1⊥l2,则4(2a-1)=-1,解得a=38.故当a=38时,直线l1:y=(2a-1)x+3与直线l2:y=4x-3垂直.8.已知△ABC的顶点坐标分别是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),试求这个三角形的三条边所在直线的点斜式方程.解直线AB的斜率kAB=-3-03-(-5)=-38,且直线AB过点A(-5,0),∴直线AB的点斜式方程为y=-38(x+5),同理:kBC=2+30-3=-53,kAC=2-00+5=25,∴直线BC的点斜式方程为y-2=-53x或y+3=-53(x-3),直线AC的点斜式方程为y-2=25x或y=25(x+5).能力提升练1.将直线y=√3(x-2)绕点(2,0)按逆时针方向旋转60°后所得直线方程是()A.√3x+y-2√3=0B.√3x-y+2√3=0C.√3x+y+2√3=0D.√3x-y-2√3=0解析∵直线y=√3(x-2)的倾斜角是60°,∴按逆时针旋转60°后的直线的倾斜角为120°,斜率为-√3,且过点(2,0).∴其方程为y-0=-√3(x-2),即√3x+y-2√3=0.答案A2.以A(2,-5),B(4,-1)为端点的线段的垂直平分线方程是()A.2x-y+9=0B.x+2y-3=0C.2x-y-9=0D.x+2y+3=0解析由A(2,-5),B(4,-1),知线段AB中点坐标为P(3,-3),又由斜率公式可得kAB=-1-(-5)4-2=2,所以线段AB的垂直平分线的斜率为k=-1kAB=-12,所以线段AB的垂直平分线的方程为y-(-3)=-12(x-3),即x+2y+3=0.故选D.答案D3.在等腰三角形AOB中,|AO|=|AB|,点O(0,0),A(1,3),点B在x轴的正半轴上,则直线AB的方程为()A.y-1=3(x-3)B.y-1=-3(x-3)C.y-3=3(x-1)D.y-3=-3(x-1)解析由对称性可得B(2,0),∴kAB=31-2=-3,∴直线AB的方程为y-3=-3(x-1).答案D4.已知直线l过点P(-2,0),直线l与坐标轴围成的三角形的面积为10,则直线l的方程为.解析设直线l在y轴上的截距为b,则由已知得12×|-2|×|b|=10,b=±10.①当b=10时,直线过点(-2,0),(0,10),斜率k=10-00-(-2)=5.故直线的斜截式方程为y=5x+10.②当b=-10时,直线过点(-2,0),(0,-10),斜率k=-10-00-(-2)=-5.故直线的斜截式方程为y=-5x-10.综合①②可知,直线l的方程为y=5x+10或y=-5x-10.答案y=5x+10或y=-5x-105.已知直线l:5ax-5y-a+3=0,(1)求证:不论a为何值,直线l总过第一象限;(2)为了使直线l不过第二象限,求a的取值范围.(1)证明直线l的方程可化为y-35=ax-15,由点斜式方程可知直线l的斜率为a,且过定点A15,35,由于点A在第一象限,所以直线一定过第一象限.(2)解如图,直线l的倾斜角介于直线AO与AP的倾斜角之间,kAO=35-015-0=3,直线AP的斜率不存在,故a≥3.素养培优练有一个既有进水管,又有出水管的容器,每单位时间进出的水量是一定的,设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水,在随后的30分钟内既进水又出水,得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示,若40分钟后只放水不进水,求y与x的函数关系.解当040时,由物理知识可知,直线的斜率就是相应进水或放水的速度.设进水速度为v1,放水速度为v2,当0≤x≤10时,是只进水过程,所以v1=2,当1040时,k=-53,又直线过点B(40,30).此时直线方程为y-30=-53(x-40),即y=-53x+2903.当y=0时,x=2905=58.此时,直线过点C(58,0),即第58分钟时水放完.综上所述可知,y={2x,0≤x≤10,13x+503,10
