初中数学线段中的数学思想数学思想是数学的精髓，贯穿于整个教材，并渗透在习题之中。现以线段中的有关问题为例，说明数学思想的重要性。1、类比思想例1完成表1。表1图形名称特征端点个数表示方法直线射线线段分析：学习这三个概念时应注意把握：（1）方向性；（2）端点个数；（3）表示方法。解：如表2。表2图形名称特征端点个数表示方法直线向两个方向无限延伸0用两个大写英文字母（可交换位置）或一个小写英文字母表示射线向一个方向无限延伸1用两个大写英文字母（不能交换位置）或一个小写英文字母表示线段有实际长度2用两个大写英文字母（可交换位置）或一个小写英文字母表示点评：概念是推理、判断的起点，在学习中，不仅要记住概念，更要深刻理解概念，利用类比思想记概念不失为一种好方法。2、数形结合思想以图形的认识为主，这是几何研究的主要特点。同时我们也要联系到数量，使两者一致，达到数与形的完美结合。数与形是数学的两块基石，它们常常结合在一起，在内容上相互联系，在方法上相互渗透，在一定条件下可以相互转化。在解题时，必须注意把数和形结合起来，把形的问题转化为数的问题，或者把数的问题转化为形的问题。利用数研究形，关键在于创设条件，使几何图形数量化。例2有一把长为9cm的直尺，请在直尺上(两端除外)确定三条刻度线的位置，使得用这种直尺可以一次量出从1cm到9cm的所有长度为整数厘米的线段。分析：在直尺上(两端除外)确定三条刻度线，可以得到三个1至9之间的整数．我们可以把问题转化成从1、2、3、4、5、6、7、8这八个数中选出三个，使得由这三个数再结合进行加减运算能得到另外五个数。解：图1所示的四种方法中的任意一种都能满足要求。点评：题中要求用这种直尺可以一次量出从1cm至9cm的所有长度为整数厘米的线段，因此选出的三个数进行加减运算得到另外五个数中的某一个时，必须只经过一次计算。3、分类讨论思想例3已知线段AB＝10cm，点M为线段AB的中点。线段AB所在的直线上有一点P，点N为线段AP的中点。若MN＝1.5cm，求线段AP的长。分析：题中已说明点P在线段AB所在的直线上，即点P可能在线段AB上，也可能在线段AB的延长线上，故应分情况考虑。解：如图2，当点P在线段AB上时，点N在点M的左侧，从而可得图2如图3，当点P在线段AB的延长线上时，点N在点M的右侧，从而可得图3故线段AP的长为7cm或13cm。点评：点在线段所在的直线上，则它既可能在线段上，又可能在线段的延长线上，这一点一定要注意。4、转化思想例4如图4，A、B、C、D是直线l上顺次排列的四个点，且线段AC＝5，BD＝4，则AB－CD＝___________。图4分析：由图可知，AC＝AB＋BC，BD＝BC＋CD，AB－CD＝（AB＋BC）－（BC＋CD）＝AC－BD＝5－4＝1。解：填1。点评：此题把未知线段转化成已知线段，这种转化思想是一种重要的数学思想。5、整体思想例5如图5，点M是线段AB的中点，点N是线段CD的中点。已知AD＝a，BC＝b，用含a、b的代数式表示线段MN的长。图5分析：根据中点的定义和线段的和、差来计算，关键是要把MB＋CN看成一个整体进行运算。解：因为点M、点N分别为线段AB、线段CD的中点，所以AM＝MB，CN＝ND，所以有点评：之所以要将MB＋CN看成一个整体，是因为MN＝（MB＋CN）＋BC，而MB＋CN是可以根据线段中点的定义用a、b表示出来的。6、方程思想例6如图6，B、C两点把线段AD分成2：3：4的三部分，点M是线段AD的中点，CD＝8，求线段MC的长。分析：由AB：BC：CD＝2：3：4，可设AB＝2x，BC＝3x，CD＝4x，由CD＝4x＝8，可求得x的值，进而求出线段MC长。解：设AB＝2x，由AB：BC：CD＝2：3：4，得BC＝3x，CD＝4x，AD＝9x。因为CD＝8，所以4x＝8。解得x＝2。故AD＝9x＝18。点M是线段AD的中点，所以有点评：由于线段AB、线段BC、线段CD三者的比例已给出，所以应先将这三条线段的长度设出来，再与已知线段相联系进行求解。（责任编辑：潘彦坤）
