第2章2.1.2VIP免费

2．1.2函数的表示方法明目标、知重点1.了解函数的三种表示法的各自优点，掌握用三种不同形式表示函数.2.掌握简单的分段函数，并能简单应用．1．函数的三种表示法(1)列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法．(2)解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法．(3)图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法．2．分段函数(1)分段函数的定义：在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数叫做分段函数．(2)分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．(3)分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象．[情境导学]语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为：生日快樂！英文为：HappyBirthday！…，那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？探究点一函数的表示方法思考1函数有哪几种常用的表示法？它们分别是如何定义的？答解析法、图象法、列表法．(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；(2)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系；(3)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．思考2函数的三种表示方法各有什么优点？答(1)解析法的优点：概括了变量间的关系，利用解析式可求任一函数值．(2)图象法的优点：直观形象地表示出函数值随自变量的变化趋势，有利于通过图象来研究函数的性质．(3)列表法的优点：不需计算便可以直接看出自变量对应的函数值．例1购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数，并指出该函数的值域．解(1)解析法：y＝2x，x∈{1,2,3,4}．(2)列表法：x/听1234y/元2468(3)图象法：图象由点(1,2)，(2,4)，(3,6)，(4,8)组成，函数的值域是{2,4,6,8}．反思与感悟本例题的两个变量之间的函数关系用解析法、列表法、图象法都能表示，但并不是所有的函数都能用三种方法表示，能用解析法表示的一般也能用另两种方法表示，能用列表法或图象法表示的不一定能用解析法表示，也就是说有些函数的关系找不到一个等式来表示．跟踪训练1某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)．解这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}．用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3，4,5}．用列表法可将函数y＝f(x)表示为：笔记本数x12345钱数y510152025用图象法可将函数y＝f(x)表示为下图：探究点二换元法求函数的解析式思考已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式通常用什么方法？答通常用换元法．即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，即求出了f(x)．例2已知f(x2－1)＝x4－x2＋1，求f(x)．解因为f(x2－1)＝x4－x2＋1＝(x2－1)2＋(x2－1)＋1，所以f(x)＝x2＋x＋1(x≥－1)．反思与感悟此法是把所给函数的解析式，通过配方、凑项等方法使之变形为关于“自变量”的表示式，然后以x代替“自变量”，即得所求函数解析式．跟踪训练2已知f()＝3－x，求f(x)的解析式．解令＝t，则t≥0，且x＝t2＋1，所以f(t)＝3－(t2＋1)＝2－t2，即f(x)＝2－x2(x≥0)．探究点三待定系数法求函数解析式思考1若已知函数的类型，求函数的解析式通常用什么方法？答若已知函数的类型，可用待定系数法求解．思考2用待定系数法求函数解析式的一般思路是怎样的？答由函数类型设出函数解析式，再根据条件列出方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定的系数，进而求出函数解析式．例3设二次函数f(x)满足f(x＋2)＝f(2－x)，且f(x)＝0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式．解设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(x＋2)＝f(2－x)可知，该函数图象关于直线x＝2对称，∴－＝2，即b＝－4a①又图象过点(0,3)，∴c＝3②由方程f(x)＝0的两实根平方和为10，得x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝10.即b2－2ac＝10a2③由①②③解得a＝1，b＝－4，c＝3.∴f(x)＝x2－4x＋3.反思与感悟我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果．类似的已知f...