1/1题目一类线性变换多项式的维数特征背景(或问题的提出)在近几年的一些重点院校数学专业研究生入学考试中，出现了下列一类压轴题：1．设是数域P上n维线性空间V上的一个线性变换，用表示V上的恒等变换，证明：3()()rankrankn2．（北京大学2005年）2．设是n维线性空间V上的一个线性变换，表示V上的恒等变换，证明：2340的充分必要条件是()rank(4)rankn．（四川大学2000年）．对以上命题的必要性的证明是平凡的（转化为矩阵的等价命题），但充分性的证明是困难的．另外，用类似的秩关系式可以定义幂等变换、对合变换．问题1：以上命题是否存在更一般的结论，如何证明？问题2：由于1()dim(0)rankn，与上面结果相关联的线性变换的核空间有一些什么性质？比如核空间的分解问题等．研究方法方法1：对n维线性空间的线性变换、，建立维数不等式dim()dimdimn给出它取等号的充要条件，进一步考虑将、分别换为()f、()g后，当,fg满足什么条件时，上式取等号．方法2：把线性变换转化为矩阵问题研究，是本问题的另一方法．方法3：尝试对线性变换的准素分解定理（见文献[4]）进行推广．推荐参考文献[1]张树青，王晓静．线性空间的幂等变换与对合变换的几种等价表示[J]．烟台师范学院学报（自然科学版），2004，20（1）：4-5[2]郭华．实幂等矩阵的几个等价条件[J]．渝州大学学报，2001，18（2）：20-21[3]郑瑛．实幂等矩阵秩的若干性质[J]．内蒙古民族师院学报，1999，14（2）：100-102[4]张禾瑞，郝炳新．高等代数(第四版)[M]．北京：高等教育出版社，1999
