线面垂直、面面垂直VIP专享VIP免费

线面垂直、面面垂直及其证明一线面垂直的判定定理（1）线面垂直定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直.（2）判定定理：如果直线l和平面a内的两条相交的直线m,n都垂直，那么直线l垂直于平面a.（线面垂直T线线垂直）（3）三垂线定理及其逆定理①三垂线定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影②三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直（4）线面垂直的证明例1已知正方体ABCD-ABCD，求证：AC丄面ABD.例2如图1所示，ABCD为正方形,SA丄平面ABCD,过A且垂直于SC的平面分别交SBSCDSD于EDFG.求证：AE丄SB,AG丄SD.CB例3已知AABC中ZACB=90,SA丄面ABC,AD丄SC,求证：AD丄面SBC.例4在正方体ABCD-ABCD中，M为CC】的中点，AC交BD于点O,求证:AO丄平面MBD.练习1在正方体ABCD-ABCD中.1111(1)求证：AC丄平面BDBD.11(2)求证：BD丄平面ACB.11练习2在三棱锥A-BCD中，BC=AC，AD=BD，作BE丄CD，E为垂足，作AH丄BE于H.求证：AH丄平面BCD.练习3在四棱锥P-ABCD中，PA丄底面ABCD,AB丄AD,AC丄CD,ZABC=60。,PA=AB=BC,E是PC的中点.（1）求证：CD丄AE.（2）求证：PD丄面ABE.二面面垂直（1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，若棱为l，两个面分别为，a,P二面角记作为a-1-P.（2）二面角的平面角定义：在二面角a-1-卩棱1上取一点O，在半平面a和卩内，从点O分别作垂直于棱1的射线OA,OB，射线组成ZAOB.则ZAOB叫做二面角的平面角•二面角的取值范围为［0。，180。］.（3）面面垂直定义：若两个平面的二面角为直二面角平面角是直角的二面角，则这两个平面互相垂直（）面面判定定理：一个平面过另一个平面，则这两个面相互垂直（）面面垂直的正面即：面面垂直T线面垂直T线线垂直例如图，在正方体ABCD-ABCD中，E是AA的中点.11111（1）求证：AC//平面BDE；（2）求证：平面AAC丄平面BDE.AC二BC二2AA1，D是棱*的中点，求证：平面BDC1平面BDC-例如图，直三棱柱ABC-ABC中，侧棱垂直于底面，ZACB二90。111练习如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA,SB,SC,且ZASB=ZASC=60。，ZBSC=90。，求证：平面ABC丄平面BSC．三立体几何高考证明例（江苏）如图，在三棱锥S-ABC中，平面SAB丄平面SBC,AB丄BC,AS=AB，过A作AF丄SB，垂足为F，点E□G分别是棱SA□SC的中点•求证：(1)平面EFG//平面ABC；(2)BC丄SA•例(江苏)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A]B二A1C1,D卩E分别是棱BC°CC1上的点(点D不同于点C),且AD丄DE□F为B1C1的中点.DDDD1DDDADE丄DDBCCBD11D2DDDAF//叮ADED1例如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四四边形,ZDAB二60。AB=2AD,PD丄底面ABCD.(1)证明：PA丄BD(2)设PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高.练习1如图，几何体E-ABCD是四棱锥，UABD为正三角形，CB=CD,EC丄BD.(I)求证：BE=DE；(口)若ZBCD=120。，M为线段AE的中点，求证：DMII平面BEC.练习(2011天津)如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形，ZADC二45。,AD二AC二1,O为AC的中点，PO丄□□ABCD,PO=2,M为PD的中点.(I)证明：PB//□□ACM;(II)证明：AD丄□□PAC；(皿)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.