1/6第三章微分中值定理与导数的应用作业习题1、证明下列的不等式。（1）yxyxarctanarctan；（2）)0(,lnxyyyxyxxyx。2、设121,,kaa是任意实数，求证xkaxaxaxfk)12sin(3sinsin)(1231在)2,2(内必有零点。3、设)(xf在),[a可导，)(limxfx存在，bxfx)(lim，求证0b。4、求下列极限。（1）xexxx10)1(lim；（2）)3ln(cos)2ln(coslim0xxx；（3）xxx2tan04)(tanlim；（4）)lnln1(lim1xxxx；（5）xxx22)(coslim；（6）xxx)1(lnlim0；（7）20222limxxxx；（8）xxexx630sin13lim。5、求函数xxxg2ln1)(的单调区间与极值点。6、证明当20x时，有xxx2tansin。7、求证当]2,21[x时，有232xx。8、证明方程122xx有且仅有三个实根。9、求椭圆12222byax的曲率半径。10、在半径为R的球内作一内接圆锥体，要使锥体体积最大，问其高，底半径应是多少？2/6作业习题参考答案：1、证：（1）取,11)(,arctan)(2xxfxxf在],[yx上对)(xf用拉格朗日中值定理，),(yx使得yxyfxfarctanarctan)()(yxyx211，即yxyxarctanarctan。（2）取,0,ln)(yxxf在],[xy上对)(xf用拉格朗日中值定理，),(xy，使得)0(),(1))((lnlnxyyxyxfyx,111yx故yyxyxxyxln。2、证：设xkkaxaxaxaxFk)12cos(125cos53cos3cos)(12531则0)2(,0)2(),()(FFxfxF；由罗尔定理，)2,2(，使,0)()(fF即是)(xf在)2,2(上的零点。3、证：对),,(1,axx则)(xf在]1,[xx上可导，不妨记axfaxfxx)1()(limlim。由拉格朗日中值定理，有1),()1)(()()1(xxfxxfxfxf。又bxfx)(lim，故,)()(limlimbfxfx0)()1()]()1([)(limlimlimlimxfxfxfxffbxxxx故0b。4、解：（1）xexxx10)1(limxeexxx)1ln(10lim3/6)]1ln(1[12)1ln(10limxxxxexxx200)1ln(10)1ln()1(11limlimlimxxxxxexxxxxexxex212)1ln(11lim0。（2）)3ln(cos)2ln(coslim0xxxxxxxxxxxxx3sin2sin2cos3cos32)3sin(3cos3)2sin(2cos2limlim00942cos33cos232lim0xxx。（3）xxx2tan04)(tanlim=xxxetanln2tan04lim12sin)2(csc2sectan12cottanlntanln2tanlimlimlimlim0422040404xxxxxxxxxxxx故xxx2tan04)(tanlim=1e。（4）)lnln1(lim1xxxx11ln1111limlimxxxxx。（5）xxx22)(coslimxxxecosln)2(2lim，22122)2()sin(cos1)2(coslncosln)2(limlimlimxxxxxxxxxxxxxxxcos)2(sin222limlim0sin)2(2lim2xxx4/6故xxx22)(coslim=10e。（6）xxx)1(lnlim0=)1ln(ln0limxxxe，)1ln(lnlim0xxx10)1ln(lnlimxxx=2210)1()1(lnlimxxxxx0lnlim0xxx故xxx)1(lnlim010e。（7）),0(),()2ln(212ln12222lnxxxxexx),0(),()2ln(212ln12222lnxxxxexx20222limxxxx2ln)()2ln(22220limxxxx。（8）),0(),(2116633xxxxex),0(),()]([sin66626xxxxxxxxexx630sin13lim=21)()(12116663630limxxxxxxx。5、解：0)ln2(lnln1ln2)(222xxxxxxxxxg2,1exx。（0，1）1（1，2e）2e（2e，）)(xg-0+0-)(xg极小值极大值)(xg的单调减少区间是（0，1）与（2e，）；单调増加区间是（1，2e）。)(xg的极小值是,0)1(g极大值是22)(eeg。6、证：先对原不等式变型得5/6,2cossinsinxxxx当20x时，所以原式0cos2sincossinxxxxx。设0)0(,cos2sincossin)(fxxxxxxf。)sin(sin2)cos1(sin2cos2cos2cos)(xxxxxxxxxxf当20x时，,sin,0sinxxx故,0)(xf所以)(xf在)2,0[严格増加。0)0()(fxf0cos2sincossinxxxxx，即当20x时，xxx2tansin。7、证：设32)(xxxf，则,1033)(2xxxf（舍弃-1）。因为286)2(,8118123)21(,213)1(fff。所以)(xf在]2,21[上最大值为2，最小值为2，即2323xx亦即233xx。8、证：设,12)(2xxfx易知0)1()0(ff，因为,0612532)5(,0111616)4(ff由连续函数介值定理),5,4(使得0)(f即)(xf至少有三个零点。假设)(xf=0有四个根，记为4321,,,xxxx，由罗尔中值定理，)(xf有三个零点，)(xf有二个零点，xxf2)2(ln)(3有一个零点。这显然不可能。故方程122xx有且仅有三个实根。9、解：在椭圆12222byax两边同时对x求导，得yaxbybyyax2222022；324222222222)(yabyaxbyyabyyxyaby；32424442322232432)(])(1[)1(yaxbbayaxbyabyyk，6/6曲率半径23242444)(11yaxbbakR。10、解：设圆锥底半径为r，高为h，故圆锥体积是hrV231，如图222)(RrRh代入得)20)(2(31)(2RhhRhhhV，0,340)34(31)(2hRhhRhhV(舍去)。故,322Rr由V的符号易知，此时V达到极大值。在]2,0[a上只有一个极大值，是最大值。故当RrRh322,34时，球内接圆锥体积最大。Rrh-R
