三章阶线性微分方程组三阶线性非齐次方程组的般理论VIP专享VIP免费

1/5第三讲一阶线性非齐次微分方程组的一般理论（2课时）一、目的与要求:理解一阶线性非齐次方程组的一般理论,掌握一阶线性非齐次方程组的通解结构,理解常数变易法.二、重点：一阶线性非齐次方程组的通解结构,常数变易法.三、难点：常数变易法.四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.六、教学过程：1.课题引入本节研究一阶线性非齐次方程组()()dYAxYFxdx(3.7)的通解结构与常数变易法.2.通解结构定理3.8如果()Yx是线性非齐次方程组(3.7)的解，而0()Yx是其对应齐次方程组(3.8)的解，则0()()YxYx是非齐次方程组(3.7)的解.证明这只要直接代入验证即可.定理3.9线性非齐次方程组(3.7)的任意两个解之差是其对应齐次方程组(3.8)的解.证明设()Yx和()Yx是非齐方程组(3.7)的任意两个解，即有等式()()()()dYxAxYxFxdx，()()()()dYxAxYxFxdx于是有()()[()()]ddYxdYxYxYxdxdxdx()()()()()()AxYxFxAxYxFx2/5()[()()]AxYxYx上式说明()()YxYx是齐次方程组(3.8)的解.定理3.10线性非齐次方程组(3.7)的通解等于其对应的齐次方程组(3.8)的通解与方程组(3.7)的一个特解之和.即若()Yx是非齐次方程组(3.7)的一个特解，12(),(),,()nYxYxYx是对应齐次方程组(3.8)的一个基本解组，则方程组(3.7)的通解为1122()()()()()nnYxCYxCYxCYxYx这里12,,,nCCC是任意常数.证明首先由定理3.8，不论12,,,nCCC是什么常数，(3.16)都是(3.7)的解.其次对于方程组(3.7)的任何一个解()Yx，由定理3.9知，是()()YxYx对应齐次方程组的解.于是由基本定理3.6，存在常数11,,,nCCC使得1122()()()()()nnYxYxCYxCYxCYx即1122()()()()()nnYxCYxCYxCYxYx所以(3.16)是(3.7)的通解.定理证毕.3.拉格朗日常数变易法在第一章我们介绍了对于一阶线性非齐次方程，可用常数变易法求其通解.现在，对于线性非齐次方程组，自然要问，是否也有常数变易法求其通解呢?事实上，定理3.10告诉我们，为了求解非齐次方程组(3.7)，只需求出它的一个特解和对应齐次方程组(3.8)的一个基本解组.而当(3.8)的基本解组已知时，类似于一阶方程式，有下面的常数变易法可以求得(3.7)的一个特解.为了计算简洁，我们定义(3.8)的基本解矩阵如下：3/5111212122212()()()()()()()()()()nnnnnnyxyxyxyxyxyxxyxyxyx其中每一列均为(3.8)的解()(1,2,,)iYxin，且12(),(),,()nYxYxYx是(3.8)的一个基本解组.因此det()()0xWx.由定理3.6知，齐次方程组(3.8)的通解可表为()()YxxC,其中C为列向量12nCCCC它的各个分量(1,2,,)iCin为任意常数.现在求(3.7)的形如()()()YxxCx(3.17)的解，其中12()()()()nCxCxCxCx为待定向量函数.将(3.17)代入(3.7)有()()()()()()()xCxxCxAxxFx其中4/5111212122212()()()()()()()()()()nnnnnnyxyxyxyxyxyxxyxyxyx因为()x是(3.8)的基本解矩阵，所以有()()()xAxx.从而，上式变为()()()xCxFx(3.18)由于()x是非奇异矩阵，故1()x存在，于是1()()()CxxFx积分得0()()()xxCxtFtdt0x为I中任一点代入(3.17)得到()Yx0()()()xxxtFtdt显然()Yx是(3.7)的一个特解，于是得到非齐次方程组(3.7)的通解公式0()()()()()xxYxxCxtFtdt(3.19)例1求解方程组5cos,xyt2yxy解由3.3节例4知，向量函数组11,ttxeye22222ttxeye是对应齐次方程组的基本解组.现在求非齐次方程组形如5/52122()()2ttttxeeCtCtyee的特解，此时(3.18)的纯量形式为212212()()5cos()2()0ttttCteCtetCteCte解之得110()cos,3tCtet225()cos3tCtet从而15()(cossin),3tCtett221()(2cossin)3tCtett最后可得该方程组的通解为212212()cos2sin()23cossinttttxtCeCettytCeCett本讲要点：1．非齐次通解=对应齐次通解+非齐次一个特解2．常数变易法适用于：先求出齐次通解()YxC,再令()()YxCx为非齐次特解代入原方程确定()Cx.