1/6三角形的五心定理一、三角形五心定义内心是三角形的三内角平分线交点．也是三角形内切圆的圆心．重心是三角形的三条中线的交点.（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）外心是三角形的三边的垂直平分线的交点.三角形外接圆的圆心.垂心是三角形的三条高的交点旁心是三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线的交点.三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心二、三角形五心性质内心:1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.2、P为ABC所在平面上任意一点，点O是ABC内心的充要条件是：向量cbaPCcPBbPAaPO)(.3、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有BCACABCNACBNABONAO:)(:::.重心:1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为)3,3(321321yyyxxx.外心:1、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合.2、若O是ABC的外心，则ABOC2（A为锐角或直角）或ABOC23600（A为钝角）.3、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：1d，2d，3d分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。321ddc，312ddc，213ddc；321cccc.重心坐标：)2,2,2(213132ccccccccc.4、外心到三顶点的距离相等.2/6垂心:1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆.2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且2:1:GHOG.（此直线称为三角形的欧拉线（Eulerline））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍.4、垂心分每条高线的两部分乘积相等.OAOCOCOBOBOA旁心:1、每个三角形都有三个旁心.2、旁心到三边的距离相等.注：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。三、三角形五心性质证明垂心：已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F，求证：CF⊥AB.证明：连接DE ∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE ∠EAO=∠DAC∠AEO=∠ADC∴ΔAEO∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC∴ΔEAD∽ΔOAC∴∠ACF=∠ADE=∠ABE又 ∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB重心:三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍.证明：如图：△ABC中D为BC中点，E为AC中点，F为AB中点，G为△ABC重心做BG中点H，GC中点I∴HI为△GBC的中位线∴HI//BC,且2HI=BC同理：FE是△ABC中位线∴FE//BC,且2FE=BC∴FE//HI,且FE=HI∴四边形FHIE是平行四边形∴HG=GE又H为BG的中点∴HG=BH∴HG=BH=GE∴2GE=BG∴三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍四、有关三角形五心的诗歌三角形五心歌（重外垂内旁）三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．重心3/6三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．外心三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为外心，用它可作外接圆．内心外心莫记混，内切外接是关键．垂心三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.内心三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．五心性质别记混，做起题来真是好.4/6五心的性质三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三...
