三重积分的计算方法三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：如果先做定积分21zzdz)z,y,x(f，再做二重积分Dd)y,x(F，就是“投影法”，也即“先一后二”。步骤为：找及在xoy面投影域D。多D上一点（x,y）“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二”这一步。d]dz)z,y,x(f[dv)z,y,x(fDzz21如果先做二重积分zDd)z,y,x(f再做定积分21ccdz)z(F，就是“截面法”，也即“先二后一”。步骤为：确定位于平面21czcz与之间，即]c,c[z21，过z作平行于xoy面的平面截，截面zD。区域zD的边界曲面都是z的函数。计算区域zD上的二重积分zDd)z,y,x(f，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分21ccdz)z(F，完成“后一”这一步。dz]d)z,y,x(f[dv)z,y,x(f21zccD。当被积函数f（z）仅为z的函数（与x,y无关），且zD的面积)z(容易求出时，“截面法”尤为方便。为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域投影到xoy面，得投影区域D(平面)D是X型或Y型，可选择直角坐标系计算（当的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）D是圆域（或其部分），且被积函数形如)xy(f),yx(f22时，可选择柱面坐标系计算（当为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（3）是球体或球顶锥体，且被积函数形如)zyx(f222时，可选择球面坐标系计算。1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域及被积函数f(x,y,z)的情况选取。一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；截面法（先二后一）：zD是在z处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。特殊地，对zD积分时，f(x,y,z)与x,y无关，可直接计算zDS。因而中只要],[baz,且f(x,y,z)仅含z时，选取“截面法”更佳。2.对坐标系的选取，当为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含z或)yx(zf22时，可考虑用柱面坐标计算。历年真题1、计算三重积分zdxdydzI，其中为平面1zyx与三个坐标面0z,0y,0x围成的闭区域。【解析】“投影法”（1）画出及在xoy面投影域D.（2）“穿线”yx1z0X型D：x1y01x0∴：yx1z0x1y01x0（3）101032210x10yx1010x102]y31y)x1(y)x1[(21dy)yx1(21dxzdzdydxzdxdydzI241]x41xx23x[61dx)x1(6110410323“截面法”（1）画出。（2）]1,0[z过点z作垂直于z轴的平面截得zD。zD是两直角边为x,y的直角三角形，z1y,z1x（3）计算10D10D10DzzzdzzSdz]dxdy[zdz]zdxdy[zdxdydzI10321010241dz)zz2z(21dz)z1)(z1(21zdz)xy21(z2、计算dvyx22，其中是222zyx和z=1围成的闭区域。【解析】“投影法”（1）画出及在xoy面投影域D.由1zy2xz22消去z，得1yx22即D：1yx22（2）“穿线”1zyx22，X型D：22x1yx11x1∴1zyxx1yx11x1:2222（3）计算x1x11yx11x1x1222222112222222dy)yx1(yxdxdzyxdydxdvyx“截面法”（1）画出。（2）]1,0[z过点z作垂直于z轴的平面截得zD：222zyxzD：zr020用柱坐标计算1z0zr020:（3）计算10D1020z010103z0322222z6dzz32dz]r31[2dz]drrd[dz]dxdyyx[dvyx3、化三重积分dxdydz)z,y,x(fI为三次积分，其中：222x2zy2xz及所围成的闭区域。【解析】（1）画出及在xoy面上的投影域D.由222x2zy2xz消去z，得1yx22即D：1yx22（2）“穿线”222x2zy2xX型D：22x1yx11x1：22222x2zy2xx1yx11x1（3）计算11x1x1x2y2x22222dz)z,y,x(fdydxdxdydz)z,y,x(fI4、计算zdv，其中为2222yxzyx6z及所围成的闭区域。【解析】“投影法”（1）画出及在xoy面投影域D，用柱坐标计算由zzsinrycosrx化的边界曲面方程为：z=6-r2，z=r(2)解2rrzr6z2得∴D：2r即2r020“穿线”2r6zr∴2r6zr2r020:(3)计算Dr6r2020r6r20r6r2222dr]z21[r2zdzrdrdrdrd]zdz[zdv205220222392dr)rr13r36(dr]r)r6[(r。“截面法”(1)画出。如图：由rzr6z2及围成。(2)]6,2[]2,0[]6,0[z211由z=r与z=2围成；]2,0[z，zD：zr1：2z0zr0202由z=2与z=2r6围成；]6,2[z，zD：z6r2：6z2z6r020(3)计算zdv=20D62D1z2z12dz]rdrd[zdz]rdrd[zzdvzdv20622362220262D20D392dz)zz6(dzzdz])z6([zdz)]z([zdzzSdzzS2z1z5、计算dv)yx(22，其中由不等式Azyxa0222，0z所确定。【解析】用球坐标计算。由coszsinsinysincosx得的边界曲面的球坐标方程：AaP，连结OP=，其与z轴正向的夹角为，OP=。P在xoy面的投影为P，连结PO，其与x轴正向的夹角为。∴：Aa，20，202020Aa22222dsin)sin(dddv)yx(=20Aa53d]51[sin2=)aA(154132)aA(52dsin)aA(52555520355
